Номер 1449, страница 417 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 5. Текстовые задачи - номер 1449, страница 417.

Условие.

1449 Найти четыре числа, зная, что первые три из них являются тремя последовательными членами геометрической прогрессии, а последние три — арифметической прогрессии. Сумма первого и четвёртого чисел равна 16, а второго и третьего равна 12.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Обозначим искомые четыре числа как $a$, $b$, $c$ и $d$.

По условию задачи, первые три числа ($a$, $b$, $c$) являются последовательными членами геометрической прогрессии. Основное свойство геометрической прогрессии гласит, что квадрат среднего члена равен произведению его соседей. Следовательно, мы можем записать первое уравнение:

$b^2 = a \cdot c$

Последние три числа ($b$, $c$, $d$) являются последовательными членами арифметической прогрессии. Основное свойство арифметической прогрессии гласит, что средний член равен полусумме его соседей. Отсюда получаем второе уравнение:

$c = \frac{b+d}{2}$, что эквивалентно $2c = b + d$.

Также в условии даны еще два соотношения. Сумма первого и четвёртого чисел равна 16:

$a + d = 16$

И сумма второго и третьего чисел равна 12:

$b + c = 12$

Таким образом, мы имеем систему из четырёх уравнений с четырьмя неизвестными:

$ \begin{cases} b^2 = ac \\ 2c = b + d \\ a + d = 16 \\ b + c = 12 \end{cases} $

Для решения системы выразим некоторые переменные из последних двух уравнений.

Из уравнения $b + c = 12$ получаем: $c = 12 - b$.

Из уравнения $a + d = 16$ получаем: $d = 16 - a$.

Теперь подставим эти выражения в первые два уравнения системы.

Подставим $c = 12 - b$ в первое уравнение $b^2 = ac$:

$b^2 = a(12 - b)$

Подставим $c = 12 - b$ и $d = 16 - a$ во второе уравнение $2c = b + d$:

$2(12 - b) = b + (16 - a)$

$24 - 2b = b + 16 - a$

Из этого уравнения выразим переменную $a$ через $b$:

$a = b + 2b + 16 - 24$

$a = 3b - 8$

Теперь у нас есть выражение для $a$ через $b$. Подставим его в уравнение $b^2 = a(12 - b)$:

$b^2 = (3b - 8)(12 - b)$

Раскроем скобки и решим полученное квадратное уравнение относительно $b$:

$b^2 = 36b - 3b^2 - 96 + 8b$

$b^2 = 44b - 3b^2 - 96$

$4b^2 - 44b + 96 = 0$

Для упрощения разделим все члены уравнения на 4:

$b^2 - 11b + 24 = 0$

Корни этого квадратного уравнения можно найти по теореме Виета: их сумма равна 11, а произведение равно 24. Это числа 3 и 8. Таким образом, мы имеем два возможных значения для $b$: $b_1 = 3$ и $b_2 = 8$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $b = 3$

Найдем остальные числа, используя выведенные ранее зависимости: $a = 3b - 8$, $c = 12 - b$ и $d = 16 - a$. Подставляя $b=3$, получаем: $a = 3(3) - 8 = 1$; $c = 12 - 3 = 9$; $d = 16 - 1 = 15$. Таким образом, первая последовательность чисел — 1, 3, 9, 15. Проверим ее: первые три члена (1, 3, 9) образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q=3$, последние три (3, 9, 15) — арифметическую с разностью $d_{ap}=6$, сумма первого и четвертого $1+15=16$, сумма второго и третьего $3+9=12$. Все условия выполнены.

Случай 2: $b = 8$

Найдем остальные числа для этого случая: $a = 3(8) - 8 = 16$; $c = 12 - 8 = 4$; $d = 16 - 16 = 0$. Таким образом, вторая последовательность чисел — 16, 8, 4, 0. Проверим ее: первые три члена (16, 8, 4) образуют геометрическую прогрессию со знаменателем $q=1/2$, последние три (8, 4, 0) — арифметическую с разностью $d_{ap}=-4$, сумма первого и четвертого $16+0=16$, сумма второго и третьего $8+4=12$. Все условия выполнены.

Задача имеет два решения.

Ответ: 1, 3, 9, 15 или 16, 8, 4, 0.