Номер 1448, страница 417 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

1448 Найти сумму первых двенадцати членов арифметической прогрессии, если сумма первых трёх её членов равна нулю, а сумма четырёх первых членов равна 1.

Пусть $\{a_n\}$ — арифметическая прогрессия, где $a_1$ — её первый член, а $d$ — её разность. Сумма первых $n$ членов прогрессии обозначается как $S_n$.

По условию задачи нам дано:
1. Сумма первых трёх членов равна нулю: $S_3 = 0$.
2. Сумма первых четырёх членов равна единице: $S_4 = 1$.

Нам нужно найти сумму первых двенадцати членов, то есть $S_{12}$.

Сумма первых четырёх членов $S_4$ может быть представлена как сумма первых трёх членов $S_3$ и четвёртого члена $a_4$:
$S_4 = S_3 + a_4$

Подставим известные значения:
$1 = 0 + a_4$
Отсюда следует, что четвёртый член прогрессии равен 1:
$a_4 = 1$

Формула для $n$-го члена арифметической прогрессии имеет вид: $a_n = a_1 + (n-1)d$.
Для $n=4$ получаем:
$a_4 = a_1 + (4-1)d = a_1 + 3d$
Таким образом, мы получили первое уравнение: $a_1 + 3d = 1$.

Теперь воспользуемся вторым условием, $S_3 = 0$. Формула суммы первых $n$ членов арифметической прогрессии:
$S_n = \frac{2a_1 + (n-1)d}{2} \cdot n$
Для $n=3$ получаем:
$S_3 = \frac{2a_1 + (3-1)d}{2} \cdot 3 = \frac{2a_1 + 2d}{2} \cdot 3 = (a_1 + d) \cdot 3$
Так как $S_3 = 0$, то:
$3(a_1 + d) = 0$
Отсюда получаем второе уравнение: $a_1 + d = 0$.

Теперь у нас есть система из двух линейных уравнений с двумя переменными $a_1$ и $d$:
$\begin{cases} a_1 + 3d = 1 \\ a_1 + d = 0 \end{cases}$

Из второго уравнения выразим $a_1$:
$a_1 = -d$

Подставим это выражение в первое уравнение:
$(-d) + 3d = 1$
$2d = 1$
$d = \frac{1}{2}$

Теперь найдём $a_1$:
$a_1 = -d = -\frac{1}{2}$

Мы нашли первый член и разность прогрессии. Теперь мы можем вычислить сумму первых двенадцати членов $S_{12}$, используя ту же формулу суммы:
$S_{12} = \frac{2a_1 + (12-1)d}{2} \cdot 12 = (2a_1 + 11d) \cdot 6$

Подставим найденные значения $a_1 = -\frac{1}{2}$ и $d = \frac{1}{2}$:
$S_{12} = \left(2 \cdot \left(-\frac{1}{2}\right) + 11 \cdot \frac{1}{2}\right) \cdot 6$
$S_{12} = \left(-1 + \frac{11}{2}\right) \cdot 6$
$S_{12} = \left(-\frac{2}{2} + \frac{11}{2}\right) \cdot 6$
$S_{12} = \frac{9}{2} \cdot 6$
$S_{12} = 9 \cdot 3 = 27$

Ответ: 27