Номер 1442, страница 416 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 5. Текстовые задачи - номер 1442, страница 416.

Условие.

1442 Катер направился от речного причала вниз по реке и, пройдя 36 км, догнал плот, отправленный от того же причала за 10 ч до начала движения катера. Если бы катер отправился одновременно с плотом, то, пройдя 30 км и повернув обратно, встретил бы плот на расстоянии 10 км от речного причала. Найти собственную скорость катера.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $x$ км/ч — собственная скорость катера, а $y$ км/ч — скорость течения реки. Тогда скорость катера по течению равна $(x+y)$ км/ч, а против течения — $(x-y)$ км/ч. Скорость плота равна скорости течения реки, то есть $y$ км/ч.

Анализ первого условия.
Катер отправился вниз по реке и, пройдя 36 км, догнал плот. Плот был отправлен на 10 часов раньше катера. Это означает, что к моменту встречи, которая произошла на расстоянии 36 км от причала, плот находился в пути на 10 часов дольше, чем катер.
Время движения катера: $t_{катера} = \frac{36}{x+y}$ ч.
Время движения плота: $t_{плота} = \frac{36}{y}$ ч.
Составим первое уравнение, исходя из разницы во времени:
$t_{плота} - t_{катера} = 10 \implies \frac{36}{y} - \frac{36}{x+y} = 10$.

Анализ второго условия.
Если бы катер и плот отправились одновременно, то катер, пройдя 30 км вниз по течению и повернув обратно, встретил бы плот на расстоянии 10 км от причала. Это означает, что за одно и то же время плот прошел 10 км, а катер прошел 30 км вниз по течению и $30 - 10 = 20$ км вверх по течению.
Время движения плота до встречи: $t'_{плота} = \frac{10}{y}$ ч.
Время движения катера до встречи: $t'_{катера} = \frac{30}{x+y} + \frac{20}{x-y}$ ч.
Так как время движения в этом сценарии одинаковое ($t'_{плота} = t'_{катера}$), составим второе уравнение:
$\frac{10}{y} = \frac{30}{x+y} + \frac{20}{x-y}$.

Решение системы уравнений.
Получили систему из двух уравнений:
1) $\frac{36}{y} - \frac{36}{x+y} = 10$
2) $\frac{10}{y} = \frac{30}{x+y} + \frac{20}{x-y}$
Упростим второе уравнение. Приведем правую часть к общему знаменателю $(x+y)(x-y) = x^2 - y^2$:
$\frac{10}{y} = \frac{30(x-y) + 20(x+y)}{x^2-y^2}$
$\frac{10}{y} = \frac{30x - 30y + 20x + 20y}{x^2-y^2}$
$\frac{10}{y} = \frac{50x - 10y}{x^2-y^2}$
Воспользуемся свойством пропорции:
$10(x^2 - y^2) = y(50x - 10y)$
$10x^2 - 10y^2 = 50xy - 10y^2$
$10x^2 = 50xy$
Поскольку собственная скорость катера $x > 0$, мы можем разделить обе части уравнения на $10x$:
$x = 5y$.

Теперь подставим полученное соотношение $x=5y$ в первое уравнение системы:
$\frac{36}{y} - \frac{36}{5y+y} = 10$
$\frac{36}{y} - \frac{36}{6y} = 10$
$\frac{36}{y} - \frac{6}{y} = 10$
$\frac{30}{y} = 10$
Отсюда находим скорость течения реки: $y = \frac{30}{10} = 3$ км/ч.

Наконец, найдем собственную скорость катера, используя соотношение $x = 5y$:
$x = 5 \cdot 3 = 15$ км/ч.

Ответ: 15 км/ч.