Номер 1451, страница 417 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 5. Текстовые задачи - номер 1451, страница 417.

Условие.

1451 Произведение пятого и шестого членов арифметической прогрессии в 33 раза больше произведения её первого и второго членов. Во сколько раз пятый член прогрессии больше второго, если известно, что все члены прогрессии положительны?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Пусть $a_1$ — первый член арифметической прогрессии, а $d$ — её разность.

Формула n-го члена арифметической прогрессии: $a_n = a_1 + (n-1)d$.

Выразим члены прогрессии, упомянутые в задаче, через $a_1$ и $d$:

• Первый член: $a_1$
• Второй член: $a_2 = a_1 + d$
• Пятый член: $a_5 = a_1 + 4d$
• Шестой член: $a_6 = a_1 + 5d$

По условию, произведение пятого и шестого членов в 33 раза больше произведения первого и второго членов. Запишем это в виде уравнения:$a_5 \cdot a_6 = 33 \cdot (a_1 \cdot a_2)$

Подставим выражения для членов прогрессии в это уравнение:$(a_1 + 4d)(a_1 + 5d) = 33 \cdot a_1(a_1 + d)$

Раскроем скобки в обеих частях уравнения:$a_1^2 + 5a_1d + 4a_1d + 20d^2 = 33a_1^2 + 33a_1d$$a_1^2 + 9a_1d + 20d^2 = 33a_1^2 + 33a_1d$

Перенесём все члены в одну сторону и приведём подобные слагаемые:$33a_1^2 - a_1^2 + 33a_1d - 9a_1d - 20d^2 = 0$$32a_1^2 + 24a_1d - 20d^2 = 0$

Это однородное квадратное уравнение относительно $a_1$ и $d$. Разделим все члены уравнения на 4 для упрощения:$8a_1^2 + 6a_1d - 5d^2 = 0$

Поскольку все члены прогрессии положительны, разность $d$ не может быть равна нулю (иначе все члены были бы равны $a_1$, и $a_1^2 = 33a_1^2$, что неверно при $a_1 > 0$). Разделим уравнение на $d^2 \neq 0$:$8\left(\frac{a_1}{d}\right)^2 + 6\left(\frac{a_1}{d}\right) - 5 = 0$

Сделаем замену $x = \frac{a_1}{d}$ и решим полученное квадратное уравнение $8x^2 + 6x - 5 = 0$:Дискриминант $D = b^2 - 4ac = 6^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-5) = 36 + 160 = 196 = 14^2$.Корни уравнения:$x_1 = \frac{-6 - 14}{2 \cdot 8} = \frac{-20}{16} = -\frac{5}{4}$$x_2 = \frac{-6 + 14}{2 \cdot 8} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$

Таким образом, мы получили два возможных соотношения между $a_1$ и $d$:1. $\frac{a_1}{d} = -\frac{5}{4} \implies d = -\frac{4}{5}a_1$2. $\frac{a_1}{d} = \frac{1}{2} \implies d = 2a_1$

Теперь используем второе условие задачи: все члены прогрессии положительны. Это означает, что $a_n > 0$ для любого $n$. В частности, $a_1 > 0$.

Рассмотрим первый случай: $d = -\frac{4}{5}a_1$.Поскольку $a_1 > 0$, то $d < 0$. Прогрессия является убывающей.$a_1 > 0$$a_2 = a_1 + d = a_1 - \frac{4}{5}a_1 = \frac{1}{5}a_1 > 0$$a_3 = a_1 + 2d = a_1 - 2 \cdot \frac{4}{5}a_1 = a_1 - \frac{8}{5}a_1 = -\frac{3}{5}a_1 < 0$Третий член прогрессии отрицателен, что противоречит условию. Следовательно, этот случай невозможен.

Рассмотрим второй случай: $d = 2a_1$.Поскольку $a_1 > 0$, то $d > 0$. Прогрессия является возрастающей.Если первый член и разность положительны, то все члены такой арифметической прогрессии будут положительны. Это решение удовлетворяет условию.

Итак, мы нашли, что $d = 2a_1$. Теперь найдём, во сколько раз пятый член прогрессии больше второго, то есть найдём отношение $\frac{a_5}{a_2}$.$\frac{a_5}{a_2} = \frac{a_1 + 4d}{a_1 + d}$

Подставим в это выражение $d = 2a_1$:$\frac{a_5}{a_2} = \frac{a_1 + 4(2a_1)}{a_1 + 2a_1} = \frac{a_1 + 8a_1}{3a_1} = \frac{9a_1}{3a_1} = 3$

Таким образом, пятый член прогрессии в 3 раза больше второго.

Ответ: в 3 раза.