Номер 1455, страница 418 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 6. Функции и графики - номер 1455, страница 418.

Условие.

1455 Найти коэффициенты $k$ и $b$ линейной функции $y = kx + b$, если её график проходит через точки $A$ и $B$:

1) $A(-1; -2)$, $B(3; 2)$;

2) $A(2; 1)$, $B(1; 2)$;

3) $A(4; 2)$, $B(-4; -3)$;

4) $A(-2; -2)$, $B(3; -2)$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения коэффициентов $k$ и $b$ линейной функции $y = kx + b$, воспользуемся тем, что её график проходит через заданные точки A и B. Это означает, что координаты каждой точки удовлетворяют уравнению функции. Подставив координаты x и y каждой точки в уравнение, мы получим систему из двух линейных уравнений с двумя неизвестными, $k$ и $b$.

1) A(-1; -2), B(3; 2)
Подставим координаты точек A и B в уравнение $y = kx + b$:
Для точки A(-1; -2): $-2 = k \cdot (-1) + b$
Для точки B(3; 2): $2 = k \cdot 3 + b$
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} -2 = -k + b \\ 2 = 3k + b \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго, чтобы найти коэффициент $k$:
$2 - (-2) = (3k + b) - (-k + b)$
$4 = 3k + b + k - b$
$4 = 4k$
$k = 1$
Теперь подставим найденное значение $k=1$ в первое уравнение системы, чтобы найти $b$:
$-2 = -1 + b$
$b = -2 + 1$
$b = -1$
Ответ: $k=1$, $b=-1$.

2) A(2; 1), B(1; 2)
Подставим координаты точек A и B в уравнение $y = kx + b$:
Для точки A(2; 1): $1 = k \cdot 2 + b$
Для точки B(1; 2): $2 = k \cdot 1 + b$
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} 1 = 2k + b \\ 2 = k + b \end{cases}$
Вычтем второе уравнение из первого:
$1 - 2 = (2k + b) - (k + b)$
$-1 = 2k + b - k - b$
$-1 = k$
$k = -1$
Теперь подставим найденное значение $k=-1$ во второе уравнение системы:
$2 = -1 + b$
$b = 2 + 1$
$b = 3$
Ответ: $k=-1$, $b=3$.

3) A(4; 2), B(-4; -3)
Подставим координаты точек A и B в уравнение $y = kx + b$:
Для точки A(4; 2): $2 = k \cdot 4 + b$
Для точки B(-4; -3): $-3 = k \cdot (-4) + b$
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} 2 = 4k + b \\ -3 = -4k + b \end{cases}$
Вычтем второе уравнение из первого:
$2 - (-3) = (4k + b) - (-4k + b)$
$5 = 4k + b + 4k - b$
$5 = 8k$
$k = \frac{5}{8}$
Теперь подставим найденное значение $k=\frac{5}{8}$ в первое уравнение системы:
$2 = 4 \cdot \frac{5}{8} + b$
$2 = \frac{20}{8} + b$
$2 = \frac{5}{2} + b$
$b = 2 - \frac{5}{2} = \frac{4}{2} - \frac{5}{2} = -\frac{1}{2}$
Ответ: $k=\frac{5}{8}$, $b=-\frac{1}{2}$.

4) A(-2; -2), B(3; -2)
Подставим координаты точек A и B в уравнение $y = kx + b$:
Для точки A(-2; -2): $-2 = k \cdot (-2) + b$
Для точки B(3; -2): $-2 = k \cdot 3 + b$
Получаем систему уравнений:
$\begin{cases} -2 = -2k + b \\ -2 = 3k + b \end{cases}$
Вычтем первое уравнение из второго:
$-2 - (-2) = (3k + b) - (-2k + b)$
$0 = 3k + b + 2k - b$
$0 = 5k$
$k = 0$
Теперь подставим найденное значение $k=0$ в любое из уравнений системы, например, в первое:
$-2 = -2 \cdot 0 + b$
$-2 = 0 + b$
$b = -2$
Ответ: $k=0$, $b=-2$.