Номер 1432, страница 415 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 4. Системы уравнений и неравенств - номер 1432, страница 415.

Условие.

1432 Найти наименьшее и наибольшее целые решения системы

$\begin{cases}\frac{2x - 3}{2} - \frac{3x + 5}{3} - \frac{x}{6} < 3 - \frac{x + 4}{2}, \\1 - \frac{2x - 8}{3} + \frac{4 - 3x}{2} < 2x - \frac{x + 2}{3}.\end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы найти наименьшее и наибольшее целые решения, необходимо сначала решить систему неравенств.

1. Решим первое неравенство системы:

$\frac{2x - 3}{2} - \frac{3x + 5}{3} - \frac{x}{6} < 3 - \frac{x + 4}{2}$

Для устранения знаменателей умножим все члены неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (2, 3, 6), то есть на 6:

$6 \cdot \frac{2x - 3}{2} - 6 \cdot \frac{3x + 5}{3} - 6 \cdot \frac{x}{6} < 6 \cdot 3 - 6 \cdot \frac{x + 4}{2}$

$3(2x - 3) - 2(3x + 5) - x < 18 - 3(x + 4)$

Раскроем скобки:

$6x - 9 - 6x - 10 - x < 18 - 3x - 12$

Приведем подобные слагаемые в каждой части неравенства:

$-x - 19 < -3x + 6$

Перенесем члены с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$-x + 3x < 6 + 19$

$2x < 25$

$x < \frac{25}{2}$

$x < 12.5$

2. Решим второе неравенство системы:

$1 - \frac{2x - 8}{3} + \frac{4 - 3x}{2} < 2x - \frac{x + 2}{3}$

Умножим все члены неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей (3, 2), то есть на 6:

$6 \cdot 1 - 6 \cdot \frac{2x - 8}{3} + 6 \cdot \frac{4 - 3x}{2} < 6 \cdot 2x - 6 \cdot \frac{x + 2}{3}$

$6 - 2(2x - 8) + 3(4 - 3x) < 12x - 2(x + 2)$

Раскроем скобки:

$6 - 4x + 16 + 12 - 9x < 12x - 2x - 4$

Приведем подобные слагаемые:

$34 - 13x < 10x - 4$

Перенесем члены с $x$ в правую часть, а свободные члены — в левую:

$34 + 4 < 10x + 13x$

$38 < 23x$

$\frac{38}{23} < x$

Выделим целую часть дроби: $1\frac{15}{23} < x$.

3. Найдем общее решение системы:

Мы получили два условия для $x$: $x < 12.5$ и $x > 1\frac{15}{23}$.

Следовательно, решением системы является интервал $(1\frac{15}{23}; 12.5)$.

4. Найдем наименьшее и наибольшее целые решения:

Теперь нам нужно найти целые числа, которые находятся в этом интервале.

Наименьшее целое решение

Наименьшее целое число, которое больше $1\frac{15}{23}$, — это 2.

Ответ: 2.

Наибольшее целое решение

Наибольшее целое число, которое меньше 12.5, — это 12.

Ответ: 12.