Номер 1431, страница 415 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 4. Системы уравнений и неравенств - номер 1431, страница 415.

Условие.

1431 1) $ \begin{cases} \sin x \cos y = -\frac{1}{2}, \\ \operatorname{tg} x \operatorname{ctg} y = 1; \end{cases} $

2) $ \begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{4}, \\ 3 \operatorname{tg} x = \operatorname{ctg} y. \end{cases} $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \sin x \cos y = -\frac{1}{2} \\ \tg x \ctg y = 1 \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ) для данной системы определяется условиями существования тангенса и котангенса: $\cos x \neq 0$ и $\sin y \neq 0$. Это означает, что $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$ и $y \neq \pi n$ для любых целых чисел $k, n$.

Рассмотрим второе уравнение системы: $\tg x \ctg y = 1$.

При условии, что $\ctg y \neq 0$ (что следует из ОДЗ, так как если $\ctg y = 0$, то $y = \frac{\pi}{2} + \pi n$, и тогда $\sin y = \pm 1 \neq 0$), мы можем переписать уравнение как $\tg x = \frac{1}{\ctg y} = \tg y$.

Равенство $\tg x = \tg y$ выполняется тогда и только тогда, когда аргументы отличаются на целое число периодов функции тангенс, то есть на $\pi m$:

$x = y + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Теперь подставим это выражение для $x$ в первое уравнение системы:

$\sin(y + \pi m) \cos y = -\frac{1}{2}$.

Используя формулу приведения $\sin(\alpha + \pi m) = (-1)^m \sin \alpha$, получаем:

$(-1)^m \sin y \cos y = -\frac{1}{2}$.

Применим формулу синуса двойного угла, $2 \sin y \cos y = \sin(2y)$, откуда $\sin y \cos y = \frac{1}{2}\sin(2y)$:

$(-1)^m \cdot \frac{1}{2} \sin(2y) = -\frac{1}{2}$, что равносильно $(-1)^m \sin(2y) = -1$.

Рассмотрим два случая в зависимости от четности $m$.

Случай 1: $m$ — четное число.

Пусть $m = 2k$, где $k \in \mathbb{Z}$. Тогда $(-1)^{2k} = 1$, и уравнение принимает вид:

$\sin(2y) = -1$.

Решением этого уравнения является $2y = -\frac{\pi}{2} + 2\pi l$, где $l \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, $y = -\frac{\pi}{4} + \pi l$.

Соответствующие значения $x$ находим из соотношения $x = y + \pi m = y + 2\pi k$:

$x = -\frac{\pi}{4} + \pi l + 2\pi k$.

Случай 2: $m$ — нечетное число.

Пусть $m = 2k + 1$, где $k \in \mathbb{Z}$. Тогда $(-1)^{2k+1} = -1$, и уравнение принимает вид:

$-\sin(2y) = -1$, или $\sin(2y) = 1$.

Решением этого уравнения является $2y = \frac{\pi}{2} + 2\pi l$, где $l \in \mathbb{Z}$.

Следовательно, $y = \frac{\pi}{4} + \pi l$.

Соответствующие значения $x$ находим из соотношения $x = y + \pi m = y + \pi(2k+1)$:

$x = \frac{\pi}{4} + \pi l + \pi(2k+1)$.

Все найденные решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(-\frac{\pi}{4} + \pi l + 2\pi k, -\frac{\pi}{4} + \pi l)$;
$(\frac{\pi}{4} + \pi l + \pi(2k+1), \frac{\pi}{4} + \pi l)$, где $k, l \in \mathbb{Z}$.

2)

Дана система уравнений:

$\begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{4} \\ 3 \tg x = \ctg y \end{cases}$

Область допустимых значений (ОДЗ): $\cos x \neq 0$ и $\sin y \neq 0$, то есть $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi n$ и $y \neq \pi k$ для любых целых $n, k$.

Преобразуем второе уравнение, используя определения тангенса и котангенса:

$3 \frac{\sin x}{\cos x} = \frac{\cos y}{\sin y}$.

В силу ОДЗ, мы можем умножить обе части на $\cos x \sin y$:

$3 \sin x \sin y = \cos x \cos y$.

Из первого уравнения системы известно, что $\sin x \sin y = \frac{1}{4}$. Подставим это значение в преобразованное второе уравнение:

$3 \cdot \left(\frac{1}{4}\right) = \cos x \cos y \implies \cos x \cos y = \frac{3}{4}$.

Теперь исходная система равносильна следующей системе:

$\begin{cases} \sin x \sin y = \frac{1}{4} \\ \cos x \cos y = \frac{3}{4} \end{cases}$

Для решения этой системы удобно использовать формулы косинуса суммы и разности двух углов:

$\cos(x-y) = \cos x \cos y + \sin x \sin y$

$\cos(x+y) = \cos x \cos y - \sin x \sin y$

Сложим уравнения новой системы:

$\cos x \cos y + \sin x \sin y = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = 1 \implies \cos(x-y) = 1$.

Отсюда следует, что $x - y = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь вычтем первое уравнение новой системы из второго:

$\cos x \cos y - \sin x \sin y = \frac{3}{4} - \frac{1}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2} \implies \cos(x+y) = \frac{1}{2}$.

Отсюда следует, что $x+y = \pm \frac{\pi}{3} + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.

Таким образом, мы получили две системы линейных уравнений для $x$ и $y$.

Случай 1: $\begin{cases} x - y = 2\pi n \\ x + y = \frac{\pi}{3} + 2\pi k \end{cases}$

Сложив уравнения, получим $2x = \frac{\pi}{3} + 2\pi(n+k)$, откуда $x = \frac{\pi}{6} + \pi(n+k)$.

Вычтя первое уравнение из второго, получим $2y = \frac{\pi}{3} + 2\pi(k-n)$, откуда $y = \frac{\pi}{6} + \pi(k-n)$.

Случай 2: $\begin{cases} x - y = 2\pi n \\ x + y = -\frac{\pi}{3} + 2\pi k \end{cases}$

Сложив уравнения, получим $2x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi(n+k)$, откуда $x = -\frac{\pi}{6} + \pi(n+k)$.

Вычтя первое уравнение из второго, получим $2y = -\frac{\pi}{3} + 2\pi(k-n)$, откуда $y = -\frac{\pi}{6} + \pi(k-n)$.

Все найденные решения удовлетворяют ОДЗ.

Ответ: $(\frac{\pi}{6} + \pi(n+k), \frac{\pi}{6} + \pi(k-n))$;
$(-\frac{\pi}{6} + \pi(n+k), -\frac{\pi}{6} + \pi(k-n))$, где $n, k \in \mathbb{Z}$.