Номер 1424, страница 414 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 4. Системы уравнений и неравенств - номер 1424, страница 414.

Условие.

1424 1) $\begin{cases} x^2 - y^2 = 13, \\ x - y = 1; \end{cases}$

2) $\begin{cases} x^2 - 3y = -5, \\ 7x + 3y = 23. \end{cases}$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - y^2 = 13, \\ x - y = 1. \end{cases} $

Первое уравнение представляет собой разность квадратов, которую можно разложить на множители по формуле $a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$.

Применив эту формулу к первому уравнению, получим:

$(x - y)(x + y) = 13$.

Из второго уравнения системы мы знаем, что $x - y = 1$. Подставим это значение в преобразованное первое уравнение:

$1 \cdot (x + y) = 13$,

откуда следует, что $x + y = 13$.

Теперь мы имеем новую, более простую систему двух линейных уравнений:

$ \begin{cases} x + y = 13, \\ x - y = 1. \end{cases} $

Сложим эти два уравнения, чтобы найти $x$:

$(x + y) + (x - y) = 13 + 1$

$2x = 14$

$x = 7$

Теперь подставим найденное значение $x = 7$ в любое из уравнений, например, в $x + y = 13$:

$7 + y = 13$

$y = 13 - 7$

$y = 6$

Проверим решение, подставив $x=7$ и $y=6$ в исходную систему:

$7^2 - 6^2 = 49 - 36 = 13$ (верно)

$7 - 6 = 1$ (верно)

Ответ: $(7; 6)$.

2)

Дана система уравнений:

$ \begin{cases} x^2 - 3y = -5, \\ 7x + 3y = 23. \end{cases} $

Для решения этой системы удобно использовать метод сложения, так как в уравнениях есть члены $-3y$ и $+3y$, которые при сложении взаимно уничтожатся.

Сложим левые и правые части уравнений:

$(x^2 - 3y) + (7x + 3y) = -5 + 23$

$x^2 + 7x = 18$

Мы получили квадратное уравнение относительно переменной $x$. Перенесем все члены в левую часть, чтобы привести его к стандартному виду $ax^2 + bx + c = 0$:

$x^2 + 7x - 18 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать дискриминант или теорему Виета. По теореме Виета, сумма корней равна $-7$, а их произведение равно $-18$. Легко подобрать корни:

$x_1 = 2$

$x_2 = -9$

Теперь для каждого найденного значения $x$ найдем соответствующее значение $y$. Для этого подставим значения $x$ во второе уравнение системы $7x + 3y = 23$.

1. При $x_1 = 2$:

$7(2) + 3y = 23$

$14 + 3y = 23$

$3y = 23 - 14$

$3y = 9$

$y_1 = 3$

Первая пара решений: $(2; 3)$.

2. При $x_2 = -9$:

$7(-9) + 3y = 23$

$-63 + 3y = 23$

$3y = 23 + 63$

$3y = 86$

$y_2 = \frac{86}{3}$

Вторая пара решений: $(-9; \frac{86}{3})$.

Ответ: $(2; 3)$, $(-9; \frac{86}{3})$.