Номер 1413, страница 414 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1413, страница 414.

Условие.

1413 1) $(x^2 - 4) \log_{0.5} x > 0;$

2) $(3x - 1) \log_2 x > 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(x^2 - 4) \log_{0,5} x > 0$

Данное неравенство равносильно совокупности двух систем. Произведение двух множителей больше нуля, если оба множителя одного знака (оба положительны или оба отрицательны).
Перед решением найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля: $x > 0$.

Рассмотрим два случая:

1. Оба множителя положительны:
$\begin{cases} x^2 - 4 > 0 \\ \log_{0,5} x > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $x^2 > 4$, что дает $x \in (-\infty, -2) \cup (2, \infty)$.
Решим второе неравенство: $\log_{0,5} x > \log_{0,5} 1$. Так как основание логарифма $0,5 < 1$, функция является убывающей, поэтому знак неравенства меняется на противоположный: $x < 1$.
Найдем пересечение решений системы с учетом ОДЗ ($x>0$):
$\begin{cases} x \in (2, \infty) \\ x < 1 \end{cases}$
Эта система не имеет решений, так как нет чисел, которые одновременно больше 2 и меньше 1.

2. Оба множителя отрицательны:
$\begin{cases} x^2 - 4 < 0 \\ \log_{0,5} x < 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $x^2 < 4$, что дает $x \in (-2, 2)$.
Решим второе неравенство: $\log_{0,5} x < \log_{0,5} 1$. Так как основание логарифма $0,5 < 1$, знак неравенства меняется на противоположный: $x > 1$.
Найдем пересечение решений системы с учетом ОДЗ ($x>0$):
$\begin{cases} x \in (-2, 2) \\ x > 1 \\ x > 0 \end{cases}$
Пересечение этих множеств дает интервал $(1, 2)$.

Объединяя решения из двух случаев (решение первого случая - пустое множество, решение второго - $(1,2)$), получаем окончательный ответ.
Ответ: $x \in (1, 2)$.

2) $(3x - 1) \log_2 x > 0$

Это неравенство также решается методом интервалов или рассмотрением случаев, когда знаки множителей совпадают.
ОДЗ: $x > 0$.

Рассмотрим два случая:

1. Оба множителя положительны:
$\begin{cases} 3x - 1 > 0 \\ \log_2 x > 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $3x > 1 \implies x > 1/3$.
Решим второе неравенство: $\log_2 x > \log_2 1$. Так как основание логарифма $2 > 1$, функция является возрастающей, поэтому знак неравенства сохраняется: $x > 1$.
Найдем пересечение решений системы:
$\begin{cases} x > 1/3 \\ x > 1 \end{cases}$
Пересечением является интервал $x > 1$, то есть $x \in (1, \infty)$. Это решение удовлетворяет ОДЗ.

2. Оба множителя отрицательны:
$\begin{cases} 3x - 1 < 0 \\ \log_2 x < 0 \end{cases}$
Решим первое неравенство: $3x < 1 \implies x < 1/3$.
Решим второе неравенство: $\log_2 x < \log_2 1$. Так как основание $2 > 1$, знак неравенства сохраняется: $x < 1$.
Найдем пересечение решений системы с учетом ОДЗ ($x > 0$):
$\begin{cases} x < 1/3 \\ x < 1 \\ x > 0 \end{cases}$
Пересечением является интервал $0 < x < 1/3$, то есть $x \in (0, 1/3)$.

Объединим решения, полученные в обоих случаях.
Ответ: $x \in (0, 1/3) \cup (1, \infty)$.