Номер 1408, страница 413 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1408, страница 413.

Условие.

1408 1) $log_6 (2 - x) < log_6 (2x + 5)$;

2) $log_{1/3} (x^2 - 2) \ge -1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\log_6(2-x) < \log_6(2x+5)$

Для решения логарифмического неравенства сначала найдем его область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными.

$\begin{cases} 2-x > 0 \\ 2x+5 > 0 \end{cases}$

Решим эту систему неравенств:

$\begin{cases} -x > -2 \\ 2x > -5 \end{cases}$

$\begin{cases} x < 2 \\ x > -2.5 \end{cases}$

Таким образом, ОДЗ: $x \in (-2.5; 2)$.

Теперь перейдем к решению самого неравенства. Основание логарифма равно 6, что больше 1. Это означает, что логарифмическая функция $y = \log_6(t)$ является возрастающей. Следовательно, при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется.

$2-x < 2x+5$

Перенесем все слагаемые с $x$ в левую часть, а свободные члены — в правую:

$-x - 2x < 5 - 2$

$-3x < 3$

Разделим обе части неравенства на -3. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x > -1$

На последнем шаге необходимо найти пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x > -1 \\ -2.5 < x < 2 \end{cases}$

Общим решением является интервал $(-1; 2)$.

Ответ: $(-1; 2)$

2) $\log_{\frac{1}{3}}(x^2-2) \ge -1$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^2-2 > 0$

$x^2 > 2$

Решением этого неравенства являются $x < -\sqrt{2}$ или $x > \sqrt{2}$. Таким образом, ОДЗ: $x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty)$.

Теперь решим неравенство. Для этого представим правую часть (-1) в виде логарифма с тем же основанием $\frac{1}{3}$:

$-1 = \log_{\frac{1}{3}}((\frac{1}{3})^{-1}) = \log_{\frac{1}{3}}(3)$

Подставим это в исходное неравенство:

$\log_{\frac{1}{3}}(x^2-2) \ge \log_{\frac{1}{3}}(3)$

Основание логарифма равно $\frac{1}{3}$, что меньше 1 (но больше 0). Это означает, что логарифмическая функция $y = \log_{\frac{1}{3}}(t)$ является убывающей. Следовательно, при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный.

$x^2-2 \le 3$

$x^2 \le 5$

Решением этого неравенства является $-\sqrt{5} \le x \le \sqrt{5}$, или $x \in [-\sqrt{5}; \sqrt{5}]$.

Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} -\sqrt{5} \le x \le \sqrt{5} \\ x \in (-\infty; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; +\infty) \end{cases}$

Совмещая эти условия, получаем два промежутка: от $-\sqrt{5}$ до $-\sqrt{2}$ и от $\sqrt{2}$ до $\sqrt{5}$.

Ответ: $[-\sqrt{5}; -\sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}; \sqrt{5}]$