Номер 1402, страница 413 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1402, страница 413.

Условие.

1402 1) $2^{-x+5} < \frac{1}{4};$

2) $(\frac{1}{3})^{|x-2|} > \frac{1}{27};$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $2^{-x+5} < \frac{1}{4}$

Для решения этого показательного неравенства необходимо привести обе его части к одному основанию. В данном случае это основание 2.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием 2:

$\frac{1}{4} = \frac{1}{2^2} = 2^{-2}$

Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:

$2^{-x+5} < 2^{-2}$

Поскольку основание степени $a=2$ больше единицы ($a > 1$), показательная функция $y=2^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется:

$-x+5 < -2$

Решим полученное линейное неравенство относительно $x$:

$-x < -2 - 5$

$-x < -7$

Умножим обе части неравенства на $-1$. При этом знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x > 7$

Таким образом, решением неравенства является числовой промежуток $(7, +\infty)$.

Ответ: $x \in (7, +\infty)$.

2) $(\frac{1}{3})^{|x-2|} > \frac{1}{27}$

Приведем обе части показательного неравенства к одному основанию, в данном случае к $\frac{1}{3}$.

Представим правую часть неравенства в виде степени с основанием $\frac{1}{3}$:

$\frac{1}{27} = \frac{1}{3^3} = (\frac{1}{3})^3$

Перепишем исходное неравенство:

$(\frac{1}{3})^{|x-2|} > (\frac{1}{3})^3$

Поскольку основание степени $a=\frac{1}{3}$ находится в интервале $(0, 1)$, показательная функция $y=(\frac{1}{3})^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$|x-2| < 3$

Данное неравенство с модулем равносильно двойному неравенству:

$-3 < x-2 < 3$

Чтобы найти $x$, прибавим 2 ко всем трем частям двойного неравенства:

$-3 + 2 < x - 2 + 2 < 3 + 2$

$-1 < x < 5$

Решением неравенства является интервал $(-1, 5)$.

Ответ: $x \in (-1, 5)$.