Номер 1396, страница 412 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1396, страница 412.

Условие.

1396 При каком наименьшем целом значении $m$ уравнение

$(m-1) x^2 - 2 (m+1) x + m - 3 = 0$

имеет два различных действительных корня?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы данное уравнение имело два различных действительных корня, необходимо, чтобы оно было квадратным и его дискриминант был строго положительным.

1. Уравнение является квадратным, если коэффициент при $x^2$ не равен нулю:
$m - 1 \neq 0$
$m \neq 1$

2. Дискриминант $D$ квадратного уравнения $ax^2 + bx + c = 0$ должен быть больше нуля ($D > 0$).
В уравнении $(m-1)x^2 - 2(m+1)x + m - 3 = 0$ коэффициенты равны:
$a = m - 1$
$b = -2(m + 1)$
$c = m - 3$

Так как коэффициент $b$ — четное число, для удобства вычислений найдем четверть дискриминанта $D/4 = k^2 - ac$, где $k = b/2 = -(m+1)$. Условие $D > 0$ равносильно условию $D/4 > 0$.
$D/4 = (-(m+1))^2 - (m-1)(m-3)$
$D/4 = (m^2 + 2m + 1) - (m^2 - 3m - m + 3)$
$D/4 = m^2 + 2m + 1 - (m^2 - 4m + 3)$
$D/4 = m^2 + 2m + 1 - m^2 + 4m - 3$
$D/4 = 6m - 2$

Теперь решим неравенство $D/4 > 0$:
$6m - 2 > 0$
$6m > 2$
$m > \frac{2}{6}$
$m > \frac{1}{3}$

Мы получили два условия для $m$: $m \neq 1$ и $m > \frac{1}{3}$. В задаче требуется найти наименьшее целое значение $m$, удовлетворяющее этим условиям.
Целые числа, которые больше $\frac{1}{3}$, это $1, 2, 3, \ldots$ и так далее.
Наименьшим из этих целых чисел является 1, но это значение исключено условием $m \neq 1$.
Следующее по величине целое число — это 2. Оно удовлетворяет обоим условиям ($2 > \frac{1}{3}$ и $2 \neq 1$).
Следовательно, наименьшее целое значение $m$, при котором уравнение имеет два различных действительных корня, равно 2.

Ответ: 2