Номер 1390, страница 412 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1390, страница 412.

Условие.

1390 При каких значениях x отрицательна дробь:

1) $ \frac{3-2x}{3x-2} $;

2) $ \frac{10-4x}{9x+2} $;

3) $ \frac{18-7x}{-4x^2-1} $?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Чтобы дробь $\frac{3 - 2x}{3x - 2}$ была отрицательной, ее числитель и знаменатель должны иметь разные знаки. Это равносильно решению неравенства:

$\frac{3 - 2x}{3x - 2} < 0$

Решим это неравенство методом интервалов. Сначала найдем нули числителя и знаменателя.

Нуль числителя: $3 - 2x = 0 \Rightarrow 2x = 3 \Rightarrow x = 1,5$.

Нуль знаменателя: $3x - 2 = 0 \Rightarrow 3x = 2 \Rightarrow x = \frac{2}{3}$. (Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому эта точка будет выколотой).

Отметим эти точки на числовой оси: $\frac{2}{3}$ и $1,5$. Они разделяют ось на три интервала: $(-\infty; \frac{2}{3})$, $(\frac{2}{3}; 1,5)$ и $(1,5; +\infty)$.

Определим знак дроби в каждом интервале:

• При $x < \frac{2}{3}$ (например, $x = 0$): $\frac{3 - 2(0)}{3(0) - 2} = \frac{3}{-2} < 0$. Интервал подходит.
• При $\frac{2}{3} < x < 1,5$ (например, $x = 1$): $\frac{3 - 2(1)}{3(1) - 2} = \frac{1}{1} > 0$. Интервал не подходит.
• При $x > 1,5$ (например, $x = 2$): $\frac{3 - 2(2)}{3(2) - 2} = \frac{-1}{4} < 0$. Интервал подходит.

Таким образом, дробь отрицательна при $x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (1,5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{2}{3}) \cup (1,5; +\infty)$.

2) Найдем значения $x$, при которых дробь $\frac{10 - 4x}{9x + 2}$ отрицательна. Это соответствует неравенству:

$\frac{10 - 4x}{9x + 2} < 0$

Используем метод интервалов.

Нуль числителя: $10 - 4x = 0 \Rightarrow 4x = 10 \Rightarrow x = \frac{10}{4} = 2,5$.

Нуль знаменателя: $9x + 2 = 0 \Rightarrow 9x = -2 \Rightarrow x = -\frac{2}{9}$. (Точка выколота).

Отметим точки $-\frac{2}{9}$ и $2,5$ на числовой оси. Интервалы: $(-\infty; -\frac{2}{9})$, $(-\frac{2}{9}; 2,5)$ и $(2,5; +\infty)$.

Определим знак дроби в каждом интервале:

• При $x < -\frac{2}{9}$ (например, $x = -1$): $\frac{10 - 4(-1)}{9(-1) + 2} = \frac{14}{-7} < 0$. Интервал подходит.
• При $-\frac{2}{9} < x < 2,5$ (например, $x = 0$): $\frac{10 - 4(0)}{9(0) + 2} = \frac{10}{2} > 0$. Интервал не подходит.
• При $x > 2,5$ (например, $x = 3$): $\frac{10 - 4(3)}{9(3) + 2} = \frac{-2}{29} < 0$. Интервал подходит.

Следовательно, дробь отрицательна при $x \in (-\infty; -\frac{2}{9}) \cup (2,5; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{2}{9}) \cup (2,5; +\infty)$.

3) Найдем значения $x$, при которых дробь $\frac{18 - 7x}{-4x^2 - 1}$ отрицательна. Составим неравенство:

$\frac{18 - 7x}{-4x^2 - 1} < 0$

Рассмотрим знаменатель дроби: $-4x^2 - 1$.

Поскольку $x^2 \ge 0$ для любого действительного $x$, то $4x^2 \ge 0$.

Тогда $-4x^2 \le 0$, и, следовательно, $-4x^2 - 1 \le -1$.

Это означает, что знаменатель дроби всегда отрицателен при любом значении $x$.

Чтобы вся дробь была отрицательной (меньше нуля), при отрицательном знаменателе ее числитель должен быть положительным.

Решим неравенство для числителя:

$18 - 7x > 0$

$18 > 7x$

$x < \frac{18}{7}$

Значит, дробь отрицательна при $x < \frac{18}{7}$.

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{18}{7})$.