Номер 1389, страница 412 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1389, страница 412.

Условие.

1389 При каких значениях $x$ положительна дробь:

1) $\frac{5x-4}{7x+5}$;

2) $\frac{3x+10}{40-x}$;

3) $\frac{x+2}{5-4x}$;

4) $\frac{8-x}{6+3x}$?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы дробь была положительной, необходимо, чтобы ее числитель и знаменатель были одного знака. Решим каждое неравенство методом интервалов.

1)

Дробь $\frac{5x-4}{7x+5}$ положительна, когда выполняется неравенство $\frac{5x-4}{7x+5} > 0$.

Это неравенство равносильно неравенству $(5x-4)(7x+5) > 0$.

Найдем нули числителя и знаменателя:

$5x-4=0 \implies 5x = 4 \implies x = \frac{4}{5} = 0.8$

$7x+5=0 \implies 7x = -5 \implies x = -\frac{5}{7}$

Нанесем эти точки на числовую прямую. Они разделят ее на три интервала: $(-\infty; -\frac{5}{7})$, $(-\frac{5}{7}; \frac{4}{5})$ и $(\frac{4}{5}; +\infty)$.

Определим знак выражения $(5x-4)(7x+5)$ в каждом интервале:

• При $x < -\frac{5}{7}$ (например, $x=-1$): $(5(-1)-4)(7(-1)+5) = (-9)(-2) = 18 > 0$. Знак «+».
• При $-\frac{5}{7} < x < \frac{4}{5}$ (например, $x=0$): $(5(0)-4)(7(0)+5) = (-4)(5) = -20 < 0$. Знак «−».
• При $x > \frac{4}{5}$ (например, $x=1$): $(5(1)-4)(7(1)+5) = (1)(12) = 12 > 0$. Знак «+».

Неравенство выполняется на интервалах, где знак «+».

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{5}{7}) \cup (\frac{4}{5}; +\infty)$.

2)

Дробь $\frac{3x+10}{40-x}$ положительна, когда $\frac{3x+10}{40-x} > 0$.

Данное неравенство равносильно $(3x+10)(40-x) > 0$.

Найдем нули выражений в скобках:

$3x+10=0 \implies 3x = -10 \implies x = -\frac{10}{3}$

$40-x=0 \implies x = 40$

Нанесем точки $x = -\frac{10}{3}$ и $x=40$ на числовую прямую. Интервалы: $(-\infty; -\frac{10}{3})$, $(-\frac{10}{3}; 40)$, $(40; +\infty)$.

Определим знак выражения $(3x+10)(40-x)$ в каждом интервале:

• При $x < -\frac{10}{3}$ (например, $x=-4$): $(3(-4)+10)(40-(-4)) = (-2)(44) = -88 < 0$. Знак «−».
• При $-\frac{10}{3} < x < 40$ (например, $x=0$): $(3(0)+10)(40-0) = (10)(40) = 400 > 0$. Знак «+».
• При $x > 40$ (например, $x=41$): $(3(41)+10)(40-41) = (133)(-1) = -133 < 0$. Знак «−».

Неравенство выполняется на интервале, где знак «+».

Ответ: $x \in (-\frac{10}{3}; 40)$.

3)

Дробь $\frac{x+2}{5-4x}$ положительна, когда $\frac{x+2}{5-4x} > 0$.

Неравенство равносильно $(x+2)(5-4x) > 0$.

Найдем нули числителя и знаменателя:

$x+2=0 \implies x = -2$

$5-4x=0 \implies 4x = 5 \implies x = \frac{5}{4} = 1.25$

Нанесем точки $x = -2$ и $x = \frac{5}{4}$ на числовую прямую. Интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; \frac{5}{4})$, $(\frac{5}{4}; +\infty)$.

Определим знак выражения $(x+2)(5-4x)$ в каждом интервале:

• При $x < -2$ (например, $x=-3$): $(-3+2)(5-4(-3)) = (-1)(17) = -17 < 0$. Знак «−».
• При $-2 < x < \frac{5}{4}$ (например, $x=0$): $(0+2)(5-0) = (2)(5) = 10 > 0$. Знак «+».
• При $x > \frac{5}{4}$ (например, $x=2$): $(2+2)(5-4(2)) = (4)(-3) = -12 < 0$. Знак «−».

Неравенство выполняется, где знак «+».

Ответ: $x \in (-2; \frac{5}{4})$.

4)

Дробь $\frac{8-x}{6+3x}$ положительна, когда $\frac{8-x}{6+3x} > 0$.

Неравенство равносильно $(8-x)(6+3x) > 0$.

Найдем нули:

$8-x=0 \implies x = 8$

$6+3x=0 \implies 3x = -6 \implies x = -2$

Нанесем точки $x = -2$ и $x=8$ на числовую прямую. Интервалы: $(-\infty; -2)$, $(-2; 8)$, $(8; +\infty)$.

Определим знак выражения $(8-x)(6+3x)$ в каждом интервале:

• При $x < -2$ (например, $x=-3$): $(8-(-3))(6+3(-3)) = (11)(-3) = -33 < 0$. Знак «−».
• При $-2 < x < 8$ (например, $x=0$): $(8-0)(6+0) = (8)(6) = 48 > 0$. Знак «+».
• При $x > 8$ (например, $x=10$): $(8-10)(6+3(10)) = (-2)(36) = -72 < 0$. Знак «−».

Неравенство выполняется на интервале со знаком «+».

Ответ: $x \in (-2; 8)$.