Номер 1386, страница 412 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1386, страница 412.

Условие.

1386 Решить графически уравнение:

1) $ \cos x = 3x - 1 $

2) $ \sin x = 0.5x^3 $

3) $ \cos x = \sqrt{x} $

4) $ \cos x = x^2 $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Для решения уравнения $ \cos x = 3x - 1 $ графическим методом, построим в одной системе координат графики двух функций: $ y = \cos x $ и $ y = 3x - 1 $.

- $ y = \cos x $ — это стандартная косинусоида, периодическая функция, значения которой лежат в отрезке $ [-1; 1] $.
- $ y = 3x - 1 $ — это прямая линия. Для ее построения найдем две точки: если $ x = 0 $, то $ y = -1 $; если $ x = 1 $, то $ y = 2 $.

Построим эскизы графиков. График $ y = \cos x $ — волнистая линия, проходящая через точки $ (0, 1) $, $ (\pi/2, 0) $, $ (\pi, -1) $. Прямая $ y = 3x - 1 $ проходит через точки $ (0, -1) $ и $ (1/3, 0) $.
Чтобы найти точки пересечения, заметим, что значения функции $ y = \cos x $ не могут быть больше 1 и меньше -1. Следовательно, для точек пересечения должно выполняться неравенство $ -1 \le 3x - 1 \le 1 $. Решим это двойное неравенство:
$ 0 \le 3x \le 2 $
$ 0 \le x \le 2/3 $
Это означает, что все возможные решения находятся в интервале $ [0; 2/3] $.
На этом интервале функция $ y = \cos x $ убывает от $ \cos(0) = 1 $ до $ \cos(2/3) $.
Функция $ y = 3x - 1 $ на этом же интервале возрастает от $ 3 \cdot 0 - 1 = -1 $ до $ 3 \cdot (2/3) - 1 = 1 $.
Так как одна функция непрерывно убывает, а другая непрерывно возрастает на рассматриваемом отрезке, и на концах отрезка значения одной функции "обгоняют" другую (при $x=0$, $ \cos x > 3x-1 $; при $x=2/3$, $ \cos x < 3x-1 $), то графики этих функций пересекутся ровно в одной точке. Абсцисса этой точки и будет решением уравнения.

Ответ: 1 решение.

2) Для решения уравнения $ \sin x = 0,5x^3 $ графическим методом, построим в одной системе координат графики функций $ y = \sin x $ и $ y = 0,5x^3 $.

- $ y = \sin x $ — это синусоида, нечетная периодическая функция, значения которой лежат в отрезке $ [-1; 1] $. График проходит через начало координат.
- $ y = 0,5x^3 $ — это кубическая парабола, нечетная функция, возрастающая на всей числовой оси. График также проходит через начало координат.

Построим эскизы графиков. Сразу видно, что точка $ (0, 0) $ является точкой пересечения, так как $ \sin(0) = 0 $ и $ 0,5 \cdot 0^3 = 0 $. Следовательно, $ x = 0 $ — один из корней уравнения.
Обе функции являются нечетными ($ f(-x) = -f(x) $), поэтому их графики симметричны относительно начала координат. Это означает, что если есть положительное решение $ x_0 $, то обязательно будет и отрицательное решение $ -x_0 $. Рассмотрим поведение функций при $ x > 0 $.
Для пересечения при $ x > 0 $ необходимо, чтобы $ 0,5x^3 \le 1 $, так как $ \sin x \le 1 $. Отсюда $ x^3 \le 2 $, то есть $ x \le \sqrt[3]{2} \approx 1,26 $.
Вблизи нуля ($ x \to 0+ $) график $ y = \sin x $ лежит выше графика $ y = 0,5x^3 $ (так как касательная к синусоиде в точке 0 имеет уравнение $ y=x $, а к кубической параболе — $ y=0 $).
При $ x = \sqrt[3]{2} $, $ y = 0,5(\sqrt[3]{2})^3 = 1 $, а $ y = \sin(\sqrt[3]{2}) = \sin(1,26) < 1 $.
Таким образом, на интервале $ (0, \sqrt[3]{2}) $ графики должны пересечься еще один раз. Из-за симметрии будет еще одна точка пересечения при $ x < 0 $.
Всего получается три точки пересечения, абсциссы которых и являются решениями уравнения.

Ответ: 3 решения.

3) Для решения уравнения $ \cos x = \sqrt{x} $ графическим методом, построим в одной системе координат графики функций $ y = \cos x $ и $ y = \sqrt{x} $.

- $ y = \cos x $ — косинусоида.
- $ y = \sqrt{x} $ — график ветви параболы. Эта функция определена только при $ x \ge 0 $.

Поскольку $ \sqrt{x} \ge 0 $, то нас интересуют только те значения $ x $, при которых $ \cos x \ge 0 $. Также, значения $ \cos x $ не превосходят 1, поэтому $ \sqrt{x} \le 1 $, что означает $ x \le 1 $.
Следовательно, все решения должны находиться в отрезке $ [0; 1] $.
Рассмотрим поведение функций на этом отрезке:
- $ y = \cos x $ убывает от $ \cos(0) = 1 $ до $ \cos(1) \approx 0,54 $.
- $ y = \sqrt{x} $ возрастает от $ \sqrt{0} = 0 $ до $ \sqrt{1} = 1 $.
В точке $ x = 0 $ имеем $ \cos(0) = 1 $, а $ \sqrt{0} = 0 $, то есть $ \cos x > \sqrt{x} $.
В точке $ x = 1 $ имеем $ \cos(1) \approx 0,54 $, а $ \sqrt{1} = 1 $, то есть $ \cos x < \sqrt{x} $.
Так как на отрезке $ [0; 1] $ одна функция непрерывно убывает, а другая непрерывно возрастает, и на концах отрезка их значения меняются местами относительно друг друга, графики этих функций пересекутся ровно один раз.

Ответ: 1 решение.

4) Для решения уравнения $ \cos x = x^2 $ графическим методом, построим в одной системе координат графики функций $ y = \cos x $ и $ y = x^2 $.

- $ y = \cos x $ — косинусоида, четная функция ($ \cos(-x) = \cos x $), ее график симметричен относительно оси Oy.
- $ y = x^2 $ — парабола с вершиной в начале координат, также четная функция ($ (-x)^2 = x^2 $), ее график симметричен относительно оси Oy.

Поскольку обе функции четные, их графики симметричны относительно оси Y. Это значит, что если $ x_0 $ является решением, то и $ -x_0 $ также будет решением. Поэтому достаточно найти количество положительных решений.
Искать решения будем при $ x \ge 0 $. Значения $ y = \cos x $ лежат в отрезке $ [-1, 1] $, а значения $ y = x^2 $ неотрицательны. Значит, точки пересечения могут существовать только там, где $ 0 \le x^2 \le 1 $, то есть $ 0 \le x \le 1 $.
Рассмотрим поведение функций на отрезке $ [0; 1] $:
- $ y = \cos x $ убывает от $ \cos(0) = 1 $ до $ \cos(1) \approx 0,54 $.
- $ y = x^2 $ возрастает от $ 0^2 = 0 $ до $ 1^2 = 1 $.
При $ x = 0 $ имеем $ \cos(0) = 1 $, а $ 0^2 = 0 $. График косинуса выше.
При $ x = 1 $ имеем $ \cos(1) \approx 0,54 $, а $ 1^2 = 1 $. График параболы выше.
На отрезке $ [0; 1] $ убывающая функция $ y = \cos x $ и возрастающая функция $ y = x^2 $ пересекутся ровно один раз. Это будет единственное положительное решение.
В силу симметрии графиков относительно оси Oy, существует также одно отрицательное решение, симметричное найденному положительному.
Таким образом, всего будет две точки пересечения.

Ответ: 2 решения.