Номер 1393, страница 412 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1393, страница 412.

Условие.

1393 1) $\frac{x^2 - 9}{x^2 - 4} < 0$

2) $(2x^2 + 3)(x + 4)^3 > 0$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Решим неравенство $\frac{x^2-9}{x^2-4} < 0$.

Для решения этого неравенства воспользуемся методом интервалов. Сначала разложим числитель и знаменатель на множители, используя формулу разности квадратов $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$.

Числитель: $x^2 - 9 = (x-3)(x+3)$.

Знаменатель: $x^2 - 4 = (x-2)(x+2)$.

Теперь неравенство принимает вид:

$\frac{(x-3)(x+3)}{(x-2)(x+2)} < 0$

Найдем нули числителя и знаменателя. Это точки, в которых выражение меняет знак.

Нули числителя (когда дробь равна 0): $(x-3)(x+3) = 0$, откуда $x_1 = 3, x_2 = -3$.

Нули знаменателя (когда дробь не определена): $(x-2)(x+2) = 0$, откуда $x_3 = 2, x_4 = -2$.

Отметим эти точки на числовой оси. Так как неравенство строгое ($< 0$), все точки будут "выколотыми", то есть не войдут в решение.

Точки в порядке возрастания: -3, -2, 2, 3.

Эти точки разбивают числовую ось на пять интервалов: $(-\infty; -3)$, $(-3; -2)$, $(-2; 2)$, $(2; 3)$, $(3; +\infty)$.

Определим знак выражения в каждом интервале. Поскольку все корни имеют нечетную кратность (равную 1), знаки в интервалах будут чередоваться. Найдем знак в крайнем правом интервале $(3; +\infty)$, подставив, например, $x=4$: $\frac{(4-3)(4+3)}{(4-2)(4+2)} = \frac{1 \cdot 7}{2 \cdot 6} > 0$. Значит, знаки будут распределяться следующим образом (справа налево): +, -, +, -, +.

Нам нужны интервалы, где выражение меньше нуля (имеет знак "-"). Это интервалы $(-3; -2)$ и $(2; 3)$.

Объединяя эти интервалы, получаем итоговое решение.

Ответ: $x \in (-3; -2) \cup (2; 3)$

2)

Решим неравенство $(2x^2+3)(x+4)^3 > 0$.

Рассмотрим каждый множитель отдельно.

Первый множитель: $(2x^2+3)$.

Так как $x^2 \ge 0$ для любого действительного числа $x$, то $2x^2 \ge 0$.

Следовательно, $2x^2 + 3 \ge 3$. Это означает, что выражение $2x^2+3$ всегда положительно.

Поскольку множитель $(2x^2+3)$ всегда больше нуля, мы можем разделить обе части неравенства на него, не меняя знака неравенства. Неравенство становится эквивалентным следующему:

$(x+4)^3 > 0$

Куб числа положителен тогда и только тогда, когда само число положительно. Поэтому:

$x+4 > 0$

Вычитаем 4 из обеих частей неравенства:

$x > -4$

Решение можно записать в виде интервала.

Ответ: $x \in (-4; +\infty)$