Номер 1400, страница 413 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1400, страница 413.

Условие.

Решить неравенство (1400—1415).

1400 1) $ |2x - 3| < x; $

2) $ |4 - x| > x; $

3) $ |x^2 - 7x + 12| \le 6; $

4) $ |x^2 - 3x - 4| > 6; $

5) $ |2x^2 - x - 1| \ge 5; $

6) $ |3x^2 - x - 4| < 2. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $|2x - 3| < x$

Данное неравенство равносильно системе неравенств:

$ \begin{cases} x > 0 \\ -x < 2x - 3 < x \end{cases} $

Двойное неравенство $-x < 2x - 3 < x$ можно разбить на два:

1) $2x - 3 < x \implies x < 3$

2) $2x - 3 > -x \implies 3x > 3 \implies x > 1$

Теперь найдем пересечение всех условий: $x > 0$, $x < 3$ и $x > 1$. Объединяя эти условия, получаем $1 < x < 3$.

Ответ: $(1; 3)$.

2) $|4 - x| > x$

Рассмотрим два случая.

Случай 1: $x < 0$. Левая часть неравенства $|4 - x|$ всегда неотрицательна. Правая часть $x$ отрицательна. Неотрицательное число всегда больше отрицательного. Следовательно, все значения $x < 0$ являются решениями неравенства.

Случай 2: $x \ge 0$. В этом случае обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат:

$(4 - x)^2 > x^2$

$16 - 8x + x^2 > x^2$

$16 - 8x > 0$

$16 > 8x$

$2 > x$, или $x < 2$.

Учитывая условие для этого случая ($x \ge 0$), получаем решение $0 \le x < 2$.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем $(-\infty; 0) \cup [0; 2)$, что равносильно $(-\infty; 2)$.

Ответ: $(-\infty; 2)$.

3) $|x^2 - 7x + 12| \le 6$

Это неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-6 \le x^2 - 7x + 12 \le 6$

Это, в свою очередь, эквивалентно системе из двух неравенств:

$ \begin{cases} x^2 - 7x + 12 \le 6 \\ x^2 - 7x + 12 \ge -6 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $x^2 - 7x + 6 \le 0$. Найдем корни уравнения $x^2 - 7x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1$, $x_2 = 6$. Так как ветви параболы направлены вверх, неравенство выполняется между корнями: $1 \le x \le 6$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 7x + 18 \ge 0$. Найдем дискриминант квадратного трехчлена: $D = (-7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 49 - 72 = -23$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, трехчлен $x^2 - 7x + 18$ всегда положителен. Следовательно, это неравенство выполняется для всех действительных $x$.

Решением системы является пересечение решений обоих неравенств: $[1; 6] \cap (-\infty; \infty)$, что дает $[1; 6]$.

Ответ: $[1; 6]$.

4) $|x^2 - 3x - 4| > 6$

Данное неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$x^2 - 3x - 4 > 6$ или $x^2 - 3x - 4 < -6$.

Решим первое неравенство: $x^2 - 3x - 10 > 0$. Корни уравнения $x^2 - 3x - 10 = 0$ равны $x_1 = -2$ и $x_2 = 5$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями: $x < -2$ или $x > 5$.

Решим второе неравенство: $x^2 - 3x + 2 < 0$. Корни уравнения $x^2 - 3x + 2 = 0$ равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 2$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется между корнями: $1 < x < 2$.

Общим решением является объединение решений этих двух неравенств.

Ответ: $(-\infty; -2) \cup (1; 2) \cup (5; \infty)$.

5) $|2x^2 - x - 1| \ge 5$

Это неравенство равносильно совокупности двух неравенств:

$2x^2 - x - 1 \ge 5$ или $2x^2 - x - 1 \le -5$.

Решим первое неравенство: $2x^2 - x - 6 \ge 0$. Найдем корни уравнения $2x^2 - x - 6 = 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-6) = 49$. Корни $x_{1,2} = \frac{1 \pm 7}{4}$, то есть $x_1 = 2$ и $x_2 = -3/2$. Ветви параболы направлены вверх, поэтому неравенство выполняется при $x \le -3/2$ или $x \ge 2$.

Решим второе неравенство: $2x^2 - x + 4 \le 0$. Дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 4 = 1 - 32 = -31$. Так как $D < 0$ и коэффициент при $x^2$ положителен, трехчлен $2x^2 - x + 4$ всегда положителен. Следовательно, это неравенство не имеет решений.

Решением исходного неравенства является решение первого неравенства.

Ответ: $(-\infty; -3/2] \cup [2; \infty)$.

6) $|3x^2 - x - 4| < 2$

Неравенство эквивалентно двойному неравенству:

$-2 < 3x^2 - x - 4 < 2$

Что равносильно системе:

$ \begin{cases} 3x^2 - x - 4 < 2 \\ 3x^2 - x - 4 > -2 \end{cases} $

Решим первое неравенство: $3x^2 - x - 6 < 0$. Корни уравнения $3x^2 - x - 6 = 0$ находятся через дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-6) = 73$. Корни $x_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{73}}{6}$. Неравенство выполняется между корнями: $\frac{1 - \sqrt{73}}{6} < x < \frac{1 + \sqrt{73}}{6}$.

Решим второе неравенство: $3x^2 - x - 2 > 0$. Корни уравнения $3x^2 - x - 2 = 0$ находятся через дискриминант $D = (-1)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-2) = 25$. Корни $x_{1,2} = \frac{1 \pm 5}{6}$, то есть $x_1 = 1$ и $x_2 = -2/3$. Неравенство выполняется вне интервала между корнями: $x < -2/3$ или $x > 1$.

Найдем пересечение решений: $(\frac{1 - \sqrt{73}}{6}; \frac{1 + \sqrt{73}}{6}) \cap ((-\infty; -2/3) \cup (1; \infty))$.

Ответ: $(\frac{1 - \sqrt{73}}{6}; -2/3) \cup (1; \frac{1 + \sqrt{73}}{6})$.