Номер 1404, страница 413 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1404, страница 413.

Условие.

1404 1) $3^{x+1} \cdot 9^{x - \frac{1}{2}} \ge \sqrt[3]{3};$

2) $3^{x+1} + 3^{x-1} < 10.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $3^{x+1} \cdot 9^{x - \frac{1}{2}} \ge \sqrt[3]{3}$

Чтобы решить это показательное неравенство, приведем все его части к одному основанию, в данном случае к 3.

Представим $9$ как степень 3: $9 = 3^2$.

Представим кубический корень из 3 как степень 3: $\sqrt[3]{3} = 3^{\frac{1}{3}}$.

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$3^{x+1} \cdot (3^2)^{x - \frac{1}{2}} \ge 3^{\frac{1}{3}}$

Используем свойство степени $(a^m)^n = a^{mn}$ для второго множителя в левой части:

$(3^2)^{x - \frac{1}{2}} = 3^{2 \cdot (x - \frac{1}{2})} = 3^{2x - 1}$

Теперь неравенство выглядит так:

$3^{x+1} \cdot 3^{2x - 1} \ge 3^{\frac{1}{3}}$

При умножении степеней с одинаковым основанием их показатели складываются ($a^m \cdot a^n = a^{m+n}$):

$3^{(x+1) + (2x-1)} \ge 3^{\frac{1}{3}}$

Упростим показатель степени в левой части:

$3^{3x} \ge 3^{\frac{1}{3}}$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Это означает, что мы можем перейти к неравенству для показателей степеней, сохраняя знак неравенства:

$3x \ge \frac{1}{3}$

Разделим обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x \ge \frac{1}{3 \cdot 3}$

$x \ge \frac{1}{9}$

Решением является промежуток $[\frac{1}{9}, +\infty)$.

Ответ: $x \in [\frac{1}{9}, +\infty)$.

2) $3^{x+1} + 3^{x-1} < 10$

Преобразуем слагаемые в левой части, используя свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$:

$3^{x+1} = 3^x \cdot 3^1 = 3 \cdot 3^x$

$3^{x-1} = 3^x \cdot 3^{-1} = \frac{1}{3} \cdot 3^x$

Подставим эти выражения в неравенство:

$3 \cdot 3^x + \frac{1}{3} \cdot 3^x < 10$

Вынесем общий множитель $3^x$ за скобки:

$3^x (3 + \frac{1}{3}) < 10$

Упростим выражение в скобках:

$3 + \frac{1}{3} = \frac{9}{3} + \frac{1}{3} = \frac{10}{3}$

Неравенство принимает вид:

$3^x \cdot \frac{10}{3} < 10$

Чтобы выделить $3^x$, умножим обе части неравенства на $\frac{3}{10}$ (знак неравенства не меняется, так как $\frac{3}{10} > 0$):

$3^x < 10 \cdot \frac{3}{10}$

$3^x < 3$

Представим 3 в правой части как $3^1$:

$3^x < 3^1$

Так как основание степени $3 > 1$, показательная функция является возрастающей. Переходим к неравенству для показателей степеней, сохраняя знак неравенства:

$x < 1$

Решением является промежуток $(-\infty, 1)$.

Ответ: $x \in (-\infty, 1)$.