Номер 1399, страница 413 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1399, страница 413.

Условие.

1399 При каком наименьшем целом значении $x$ выражение $\frac{x^2 - x - 6}{-7 - x^2}$ принимает положительное значение?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы данное выражение принимало положительное значение, оно должно быть больше нуля. Запишем соответствующее неравенство:

$\frac{x^2 - x - 6}{-7 - x^2} > 0$

Проанализируем знаменатель дроби: $-7 - x^2$.

Поскольку $x^2$ всегда является неотрицательным числом ($x^2 \ge 0$), то выражение $-x^2$ всегда будет неположительным ($-x^2 \le 0$). Следовательно, знаменатель $-7 - x^2$ всегда будет отрицательным для любого значения $x$.

Для того чтобы дробь была положительной, ее числитель и знаменатель должны иметь одинаковые знаки. Так как мы установили, что знаменатель всегда отрицателен, числитель также должен быть отрицательным:

$x^2 - x - 6 < 0$

Теперь решим это квадратное неравенство. Сначала найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - x - 6 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

• Сумма корней: $x_1 + x_2 = 1$
• Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = -6$

Отсюда находим корни: $x_1 = -2$ и $x_2 = 3$.

График функции $y = x^2 - x - 6$ — это парабола с ветвями, направленными вверх. Значения функции будут отрицательными на интервале между корнями.

Таким образом, решение неравенства $x^2 - x - 6 < 0$ — это интервал $x \in (-2; 3)$.

В задаче требуется найти наименьшее целое значение $x$, удовлетворяющее этому условию.

Целые числа, входящие в интервал $(-2; 3)$, это: -1, 0, 1, 2.

Наименьшим из этих целых чисел является -1.

Ответ: -1