Номер 1397, страница 412 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1397, страница 412.

Условие.

1397 При каких целых значениях m уравнение $(m - 7) x^2 + 2 (m - 7) x + 3 = 0$ не имеет действительных корней?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для нахождения всех целых значений параметра $m$, при которых уравнение $(m-7)x^2 + 2(m-7)x + 3 = 0$ не имеет действительных корней, необходимо рассмотреть два возможных случая.

Случай 1: Уравнение является квадратным.

Это происходит, когда коэффициент при старшем члене $x^2$ не равен нулю, то есть $m - 7 \neq 0$, что эквивалентно $m \neq 7$.

Квадратное уравнение не имеет действительных корней тогда и только тогда, когда его дискриминант $D$ строго меньше нуля ($D < 0$).

Для данного уравнения коэффициенты равны: $a = m - 7$, $b = 2(m - 7)$, $c = 3$.

Вычислим дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (2(m - 7))^2 - 4(m - 7)(3) = 4(m - 7)^2 - 12(m - 7)$.

Теперь решим неравенство $D < 0$ относительно $m$:

$4(m - 7)^2 - 12(m - 7) < 0$

Вынесем за скобки общий множитель $4(m-7)$:

$4(m - 7)[(m - 7) - 3] < 0$

$4(m - 7)(m - 10) < 0$

Разделив обе части неравенства на положительное число 4, получим:

$(m - 7)(m - 10) < 0$

Это квадратичное неравенство, решением которого является интервал между корнями $m_1=7$ и $m_2=10$. Таким образом, $7 < m < 10$.

По условию задачи требуется найти целые значения $m$. В интервал $(7, 10)$ входят целые числа $8$ и $9$. Оба они удовлетворяют исходному предположению $m \neq 7$.

Случай 2: Коэффициент при $x^2$ равен нулю.

Этот случай наступает при $m - 7 = 0$, то есть при $m = 7$.

Подставим $m = 7$ в исходное уравнение, чтобы проверить, имеет ли оно корни:

$(7 - 7)x^2 + 2(7 - 7)x + 3 = 0$

$0 \cdot x^2 + 0 \cdot x + 3 = 0$

$3 = 0$

Мы получили неверное числовое равенство. Это означает, что при $m=7$ уравнение не имеет решений ни для какого $x$. Следовательно, оно не имеет и действительных корней. Значит, значение $m=7$ также является решением задачи.

Объединяя результаты, полученные в обоих случаях, находим все целые значения $m$, при которых уравнение не имеет действительных корней. Это значения $m=8$ и $m=9$ из первого случая, и $m=7$ из второго случая.

Ответ: $7, 8, 9$.