Номер 1395, страница 412 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1395, страница 412.

Условие.

1395 При каких значениях $x$ выражение $\lg (x^2 + 8x + 15)$ не имеет смысла?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Логарифмическое выражение $\lg(A)$ (десятичный логарифм) имеет смысл только тогда, когда его аргумент $A$ строго положителен, то есть $A > 0$. Соответственно, выражение не имеет смысла, когда его аргумент неположителен, то есть $A \le 0$.

В нашем случае аргументом логарифма является выражение $x^2 + 8x + 15$. Чтобы исходное выражение не имело смысла, должно выполняться неравенство:

$x^2 + 8x + 15 \le 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 + 8x + 15 = 0$.

Найдем дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = 8^2 - 4 \cdot 1 \cdot 15 = 64 - 60 = 4$

Найдем корни уравнения:

$x_1 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 - \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 - 2}{2} = -5$

$x_2 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-8 + \sqrt{4}}{2 \cdot 1} = \frac{-8 + 2}{2} = -3$

Графиком функции $y = x^2 + 8x + 15$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен ($1 > 0$). Парабола пересекает ось абсцисс в точках $x = -5$ и $x = -3$.

Неравенство $x^2 + 8x + 15 \le 0$ выполняется для тех значений $x$, которые находятся между корнями (включая сами корни), так как на этом промежутке парабола находится ниже или на оси абсцисс.

Следовательно, решением неравенства является отрезок $[-5; -3]$.

Ответ: $x \in [-5; -3]$