Номер 1392, страница 412 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1392, страница 412.

Условие.

1392 1) $8x^2 - 2x - 1 < 0;$

2) $5x^2 + 7x \le 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Для решения неравенства $8x^2 - 2x - 1 < 0$ сначала найдем корни соответствующего квадратного уравнения $8x^2 - 2x - 1 = 0$.

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где $a=8$, $b=-2$, $c=-1$.

Вычислим дискриминант по формуле $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-1) = 4 + 32 = 36$.

Так как $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их по формуле $x = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a}$:

$x_1 = \frac{-(-2) - \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{2 - 6}{16} = \frac{-4}{16} = -\frac{1}{4}$.

$x_2 = \frac{-(-2) + \sqrt{36}}{2 \cdot 8} = \frac{2 + 6}{16} = \frac{8}{16} = \frac{1}{2}$.

Теперь рассмотрим параболу $y = 8x^2 - 2x - 1$. Коэффициент при $x^2$ равен $8$, что больше нуля, значит, ветви параболы направлены вверх. Парабола пересекает ось Ox в точках $x = -1/4$ и $x = 1/2$.

Неравенство $8x^2 - 2x - 1 < 0$ выполняется на интервале, где график функции находится ниже оси Ox, то есть между корнями.

Таким образом, решение неравенства есть интервал $(-\frac{1}{4}; \frac{1}{2})$.

Ответ: $x \in (-\frac{1}{4}; \frac{1}{2})$.

2)

Для решения неравенства $5x^2 + 7x \le 0$ разложим левую часть на множители, вынеся $x$ за скобки:

$x(5x + 7) \le 0$.

Найдем корни соответствующего уравнения $x(5x + 7) = 0$.

Произведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю:

$x_1 = 0$

или

$5x + 7 = 0 \implies 5x = -7 \implies x_2 = -\frac{7}{5}$.

Мы имеем параболу $y = 5x^2 + 7x$ с ветвями, направленными вверх (так как коэффициент при $x^2$ равен $5 > 0$), которая пересекает ось Ox в точках $x = -7/5$ и $x = 0$.

Неравенство $5x^2 + 7x \le 0$ выполняется, когда график функции находится ниже оси Ox или на ней. Это происходит на отрезке между корнями, включая сами корни.

Таким образом, решение неравенства есть отрезок $[-\frac{7}{5}; 0]$.

Ответ: $x \in [-\frac{7}{5}; 0]$.