Номер 1398, страница 412 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1398, страница 412.

Условие.

1398 При каком наибольшем целом значении $x$ выражение $\frac{\frac{1}{2}x^2+3}{x^2-9x+14}$ принимает отрицательное значение?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы выражение $\frac{\frac{1}{2}x^2 + 3}{x^2 - 9x + 14}$ принимало отрицательное значение, его числитель и знаменатель должны иметь разные знаки.

1. Анализ числителя

Рассмотрим числитель дроби: $\frac{1}{2}x^2 + 3$.

Поскольку квадрат любого действительного числа неотрицателен, то есть $x^2 \ge 0$, то и $\frac{1}{2}x^2 \ge 0$.

Следовательно, выражение в числителе $\frac{1}{2}x^2 + 3 \ge 3$. Это означает, что числитель всегда положителен при любом значении $x$.

2. Анализ знаменателя

Так как числитель всегда положителен, для того чтобы вся дробь была отрицательной, её знаменатель должен быть отрицательным. Составим и решим соответствующее неравенство:

$x^2 - 9x + 14 < 0$

3. Решение неравенства

Для решения квадратного неравенства найдем корни уравнения $x^2 - 9x + 14 = 0$.

Воспользуемся теоремой Виета:

• сумма корней $x_1 + x_2 = 9$;
• произведение корней $x_1 \cdot x_2 = 14$.

Отсюда находим корни: $x_1 = 2$ и $x_2 = 7$.

Графиком функции $y = x^2 - 9x + 14$ является парабола, ветви которой направлены вверх, так как коэффициент при $x^2$ положителен. Значения функции отрицательны на интервале между корнями.

Таким образом, решением неравенства $x^2 - 9x + 14 < 0$ является интервал $(2, 7)$, то есть $2 < x < 7$.

4. Поиск наибольшего целого значения

Задача состоит в том, чтобы найти наибольшее целое значение $x$, удовлетворяющее неравенству $2 < x < 7$.

Целые числа, принадлежащие этому интервалу: 3, 4, 5, 6.

Наибольшим из этих целых чисел является 6.

Ответ: 6