Номер 1403, страница 413 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1403, страница 413.

Условие.

1403 1) $5^{x^2+3x+1.5} < 5\sqrt{5}$;

2) $0.2^{x^2-6x+7} \ge 1$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $5^{x^2+3x+1,5} < 5\sqrt{5}$
Для решения показательного неравенства приведем обе его части к одному основанию. Основание в левой части равно 5. Представим правую часть в виде степени с основанием 5:
$5\sqrt{5} = 5^1 \cdot 5^{\frac{1}{2}} = 5^{1+0,5} = 5^{1,5}$
Теперь исходное неравенство можно переписать в виде:
$5^{x^2+3x+1,5} < 5^{1,5}$
Так как основание степени $5 > 1$, показательная функция $y=5^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента. Поэтому мы можем перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:
$x^2+3x+1,5 < 1,5$
Перенесем 1,5 в левую часть:
$x^2+3x < 0$
Это квадратное неравенство. Для его решения найдем корни соответствующего уравнения $x^2+3x=0$:
$x(x+3) = 0$
Корни уравнения: $x_1 = 0$ и $x_2 = -3$.
Графиком функции $y = x^2+3x$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Значения функции меньше нуля (неравенство $y < 0$) на интервале между корнями.
Таким образом, решение неравенства: $-3 < x < 0$.
Ответ: $x \in (-3; 0)$.

2) $0,2^{x^2-6x+7} \geq 1$
Приведем обе части неравенства к одному основанию. Основание в левой части равно 0,2. Представим 1 как степень с основанием 0,2:
$1 = 0,2^0$
Теперь неравенство выглядит так:
$0,2^{x^2-6x+7} \geq 0,2^0$
Так как основание степени $0,2$ удовлетворяет условию $0 < 0,2 < 1$, показательная функция $y=0,2^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства необходимо изменить на противоположный:
$x^2-6x+7 \leq 0$
Решим полученное квадратное неравенство. Найдем корни уравнения $x^2-6x+7=0$ с помощью дискриминанта:
$D = b^2 - 4ac = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 7 = 36 - 28 = 8$
Корни уравнения равны:
$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{6 \pm \sqrt{8}}{2} = \frac{6 \pm 2\sqrt{2}}{2} = 3 \pm \sqrt{2}$
Итак, корни: $x_1 = 3 - \sqrt{2}$ и $x_2 = 3 + \sqrt{2}$.
Графиком функции $y = x^2-6x+7$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Неравенство $y \leq 0$ выполняется на отрезке между корнями (включая сами корни).
Следовательно, решение неравенства: $3 - \sqrt{2} \leq x \leq 3 + \sqrt{2}$.
Ответ: $x \in [3 - \sqrt{2}; 3 + \sqrt{2}]$.