Номер 1405, страница 413 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1405, страница 413.

Условие.

1405 1) $2^{2x} - 4^{x-1} + 8^{\frac{2}{3}} \cdot 2^{-4} > 52;$

2) $2^{x+2} - 2^{x+3} + 5^{x-2} > 5^{x+1} + 2^{x+4}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $2^{2x} - 4^{x-1} + 8^{\frac{2}{3}x} \cdot 2^{-4} > 52$

Преобразуем все степени к основанию 2:

$4^{x-1} = (2^2)^{x-1} = 2^{2(x-1)} = 2^{2x-2}$

$8^{\frac{2}{3}x} = (2^3)^{\frac{2}{3}x} = 2^{3 \cdot \frac{2}{3}x} = 2^{2x}$

Подставим эти выражения в исходное неравенство:

$2^{2x} - 2^{2x-2} + 2^{2x} \cdot 2^{-4} > 52$

Используем свойства степеней, чтобы вынести общий множитель $2^{2x}$:

$2^{2x} - 2^{2x} \cdot 2^{-2} + 2^{2x} \cdot 2^{-4} > 52$

$2^{2x}(1 - 2^{-2} + 2^{-4}) > 52$

Вычислим значение в скобках:

$1 - \frac{1}{4} + \frac{1}{16} = \frac{16}{16} - \frac{4}{16} + \frac{1}{16} = \frac{13}{16}$

Неравенство принимает вид:

$2^{2x} \cdot \frac{13}{16} > 52$

Разделим обе части на $\frac{13}{16}$:

$2^{2x} > 52 \cdot \frac{16}{13}$

$2^{2x} > \frac{52 \cdot 16}{13}$

Сократим 52 и 13:

$2^{2x} > 4 \cdot 16$

$2^{2x} > 64$

Представим 64 как степень двойки: $64 = 2^6$.

$2^{2x} > 2^6$

Так как основание степени $2 > 1$, знак неравенства для показателей сохраняется:

$2x > 6$

$x > 3$

Ответ: $x \in (3; +\infty)$.

2) $2^{x+2} - 2^{x+3} + 5^{x-2} > 5^{x+1} + 2^{x+4}$

Сгруппируем слагаемые с одинаковыми основаниями в разных частях неравенства. Перенесем все члены с основанием 2 в левую часть, а с основанием 5 — в правую:

$2^{x+2} - 2^{x+3} - 2^{x+4} > 5^{x+1} - 5^{x-2}$

Вынесем за скобки общие множители $2^x$ и $5^x$:

$2^x(2^2 - 2^3 - 2^4) > 5^x(5^1 - 5^{-2})$

Вычислим значения в скобках:

$2^2 - 2^3 - 2^4 = 4 - 8 - 16 = -20$

$5^1 - 5^{-2} = 5 - \frac{1}{25} = \frac{125 - 1}{25} = \frac{124}{25}$

Неравенство принимает вид:

$2^x \cdot (-20) > 5^x \cdot \frac{124}{25}$

Разделим обе части неравенства на $5^x$. Так как $5^x > 0$ для любого $x$, знак неравенства не изменится:

$\frac{2^x}{5^x} \cdot (-20) > \frac{124}{25}$

$(\frac{2}{5})^x \cdot (-20) > \frac{124}{25}$

Теперь разделим обе части на -20. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$(\frac{2}{5})^x < \frac{124}{25 \cdot (-20)}$

$(\frac{2}{5})^x < -\frac{124}{500}$

$(\frac{2}{5})^x < -\frac{31}{125}$

Показательная функция $y = a^x$ с основанием $a > 0$ (в данном случае $a = \frac{2}{5}$) всегда принимает только положительные значения, то есть $(\frac{2}{5})^x > 0$ для любого действительного $x$.

Следовательно, мы получили неравенство, в котором положительная величина должна быть меньше отрицательной. Такое неравенство не имеет решений.

Ответ: нет решений (или $x \in \emptyset$).