Номер 1411, страница 413 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1411, страница 413.

Условие.

1411 1) $ \log_{0,5} (x^2 - 5x + 6) > -1; $

2) $ \log_8 (x^2 - 4x + 3) \le 1. $

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\log_{0.5} (x^2 - 5x + 6) > -1$

Решение данного логарифмического неравенства эквивалентно решению системы неравенств, состоящей из условия существования логарифма (область допустимых значений) и самого неравенства.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$x^2 - 5x + 6 > 0$

Для решения этого квадратного неравенства найдем корни соответствующего уравнения $x^2 - 5x + 6 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 2$ и $x_2 = 3$.

Поскольку коэффициент при $x^2$ положителен (равен 1), ветви параболы $y = x^2 - 5x + 6$ направлены вверх. Следовательно, неравенство выполняется на интервалах левее и правее корней.

ОДЗ: $x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty)$.

2. Решим основное неравенство. Представим правую часть в виде логарифма с тем же основанием $0.5$:

$-1 = \log_{0.5}(0.5^{-1}) = \log_{0.5}(2)$.

Теперь неравенство имеет вид:

$\log_{0.5} (x^2 - 5x + 6) > \log_{0.5}(2)$

Так как основание логарифма $a = 0.5$ и $0 < a < 1$, логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$x^2 - 5x + 6 < 2$

Перенесем 2 в левую часть и приведем подобные:

$x^2 - 5x + 4 < 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 5x + 4 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 4$.

Ветви параболы $y = x^2 - 5x + 4$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 5x + 4 < 0$ выполняется между корнями.

Решение этого неравенства: $x \in (1, 4)$.

3. Найдем пересечение решения неравенства с ОДЗ. Для этого решим систему:

$\begin{cases} x \in (-\infty, 2) \cup (3, \infty) \\ x \in (1, 4) \end{cases}$

Пересечением этих двух множеств является объединение интервалов $(1, 2)$ и $(3, 4)$.

Ответ: $x \in (1, 2) \cup (3, 4)$.

2) $\log_{8} (x^2 - 4x + 3) \le 1$

Данное логарифмическое неравенство решается аналогично предыдущему.

1. Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$x^2 - 4x + 3 > 0$

Найдем корни квадратного уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни равны $x_1 = 1$ и $x_2 = 3$.

Ветви параболы $y = x^2 - 4x + 3$ направлены вверх, поэтому неравенство выполняется вне интервала между корнями.

ОДЗ: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

2. Решим основное неравенство. Представим число 1 в виде логарифма с основанием 8:

$1 = \log_{8}(8^1) = \log_{8}(8)$.

Неравенство принимает вид:

$\log_{8} (x^2 - 4x + 3) \le \log_{8}(8)$

Так как основание логарифма $a = 8$ и $a > 1$, логарифмическая функция является возрастающей. При переходе к неравенству для аргументов знак неравенства сохраняется:

$x^2 - 4x + 3 \le 8$

Перенесем 8 в левую часть:

$x^2 - 4x - 5 \le 0$

Найдем корни уравнения $x^2 - 4x - 5 = 0$. Используя теорему Виета, находим корни $x_1 = -1$ и $x_2 = 5$.

Ветви параболы $y = x^2 - 4x - 5$ направлены вверх, поэтому неравенство $x^2 - 4x - 5 \le 0$ выполняется на отрезке между корнями.

Решение этого неравенства: $x \in [-1, 5]$.

3. Найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:

$\begin{cases} x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty) \\ x \in [-1, 5] \end{cases}$

Пересечение этих множеств дает нам два промежутка: от -1 (включительно) до 1 (не включительно) и от 3 (не включительно) до 5 (включительно).

Ответ: $x \in [-1, 1) \cup (3, 5]$.