Номер 1410, страница 413 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1410, страница 413.

Условие.

1410 1) $log_{0.5} (1 + 2x) > -1$;

2) $log_{3}(1 - 2x) < -1.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $\log_{0,5}(1+2x) > -1$

Для решения логарифмического неравенства необходимо выполнить два условия: найти область допустимых значений (ОДЗ) и решить само неравенство с учетом свойства монотонности логарифмической функции.

Шаг 1: Нахождение области допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:

$1 + 2x > 0$

$2x > -1$

$x > -0,5$

Шаг 2: Решение неравенства.
Представим правую часть неравенства, число -1, в виде логарифма с тем же основанием 0,5:

$-1 = \log_{0,5}((0,5)^{-1}) = \log_{0,5}(\frac{1}{0,5}) = \log_{0,5}(2)$

Теперь исходное неравенство можно переписать так:

$\log_{0,5}(1+2x) > \log_{0,5}(2)$

Основание логарифма $a = 0,5$, что удовлетворяет условию $0 < a < 1$. Для таких оснований логарифмическая функция является убывающей. Это означает, что при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства необходимо изменить на противоположный:

$1 + 2x < 2$

$2x < 2 - 1$

$2x < 1$

$x < \frac{1}{2}$ или $x < 0,5$

Шаг 3: Нахождение общего решения.
Необходимо найти пересечение множеств, полученных в Шаге 1 и Шаге 2. Составим систему неравенств:

$\begin{cases} x > -0,5 \\ x < 0,5 \end{cases}$

Решением этой системы является интервал $(-0,5; 0,5)$.

Ответ: $x \in (-0,5; 0,5)$.

2) $\log_3(1-2x) < -1$

Решение этого неравенства также проводится в несколько шагов.

Шаг 1: Нахождение области допустимых значений (ОДЗ).
Аргумент логарифма должен быть строго больше нуля:

$1 - 2x > 0$

$1 > 2x$

$\frac{1}{2} > x$ или $x < 0,5$

Шаг 2: Решение неравенства.
Представим правую часть неравенства в виде логарифма с основанием 3:

$-1 = \log_3(3^{-1}) = \log_3(\frac{1}{3})$

Перепишем исходное неравенство:

$\log_3(1-2x) < \log_3(\frac{1}{3})$

Основание логарифма $a = 3$, что удовлетворяет условию $a > 1$. Для таких оснований логарифмическая функция является возрастающей. Поэтому при переходе от логарифмов к их аргументам знак неравенства сохраняется:

$1 - 2x < \frac{1}{3}$

Решим это линейное неравенство относительно $x$:

$1 - \frac{1}{3} < 2x$

$\frac{2}{3} < 2x$

$\frac{1}{3} < x$

Шаг 3: Нахождение общего решения.
Объединим результат с ОДЗ в систему:

$\begin{cases} x < 0,5 \\ x > \frac{1}{3} \end{cases}$

Решением этой системы является интервал $(\frac{1}{3}; 0,5)$.

Ответ: $x \in (\frac{1}{3}; 0,5)$.