Номер 1407, страница 413 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1407, страница 413.

Условие.

1407 1) $3^{\log_2 \frac{x-1}{x+2}} < \frac{1}{9};$

2) $5^{\log_2 (x^2 - 4x + 3.5)} > \frac{1}{5}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $3^{\log_2 \frac{x-1}{x+2}} < \frac{1}{9}$

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть строго положительным:
$\frac{x-1}{x+2} > 0$
Решим это неравенство методом интервалов. Нули числителя: $x=1$. Нули знаменателя: $x=-2$.
На числовой прямой отмечаем точки -2 и 1. Интервалы, на которых выражение положительно: $(-\infty, -2)$ и $(1, \infty)$.
Итак, ОДЗ: $x \in (-\infty, -2) \cup (1, \infty)$.

Теперь решим основное неравенство. Представим правую часть в виде степени с основанием 3:
$\frac{1}{9} = 3^{-2}$
Неравенство принимает вид:
$3^{\log_2 \frac{x-1}{x+2}} < 3^{-2}$
Так как основание степени $3 > 1$, то функция является возрастающей. Поэтому можно перейти к неравенству для показателей, сохранив знак неравенства:
$\log_2 \frac{x-1}{x+2} < -2$

Представим -2 в виде логарифма по основанию 2:
$-2 = \log_2 (2^{-2}) = \log_2 \frac{1}{4}$
Получаем логарифмическое неравенство:
$\log_2 \frac{x-1}{x+2} < \log_2 \frac{1}{4}$
Так как основание логарифма $2 > 1$, функция является возрастающей. Переходим к неравенству для аргументов логарифмов, сохраняя знак:
$\frac{x-1}{x+2} < \frac{1}{4}$
Перенесем все в левую часть и приведем к общему знаменателю:
$\frac{x-1}{x+2} - \frac{1}{4} < 0$
$\frac{4(x-1) - (x+2)}{4(x+2)} < 0$
$\frac{4x - 4 - x - 2}{4(x+2)} < 0$
$\frac{3x - 6}{4(x+2)} < 0$
$\frac{3(x-2)}{4(x+2)} < 0$
Решая методом интервалов (нули: $x=2$ и $x=-2$), получаем, что неравенство выполняется при $x \in (-2, 2)$.

Теперь найдем пересечение полученного решения с ОДЗ:
$x \in ((-2, 2) \cap ((-\infty, -2) \cup (1, \infty)))$
Пересечением является интервал $(1, 2)$.

Ответ: $x \in (1, 2)$

---

2) $5^{\log_2 (x^2 - 4x + 3,5)} > \frac{1}{5}$

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргумент логарифма должен быть строго положительным:
$x^2 - 4x + 3,5 > 0$
Найдем корни квадратного трехчлена $x^2 - 4x + 3,5 = 0$. Умножим на 2 для удобства: $2x^2 - 8x + 7 = 0$.
Дискриминант: $D = (-8)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 7 = 64 - 56 = 8$.
Корни: $x = \frac{8 \pm \sqrt{8}}{4} = \frac{8 \pm 2\sqrt{2}}{4} = 2 \pm \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Так как парабола $y = x^2 - 4x + 3,5$ направлена ветвями вверх, неравенство выполняется вне интервала между корнями.
ОДЗ: $x \in (-\infty, 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}) \cup (2 + \frac{\sqrt{2}}{2}, \infty)$.

Решим исходное неравенство. Представим правую часть как степень с основанием 5:
$\frac{1}{5} = 5^{-1}$
Неравенство принимает вид:
$5^{\log_2 (x^2 - 4x + 3,5)} > 5^{-1}$
Так как основание степени $5 > 1$, функция возрастающая, поэтому переходим к неравенству для показателей, сохраняя знак:
$\log_2 (x^2 - 4x + 3,5) > -1$

Представим -1 в виде логарифма по основанию 2:
$-1 = \log_2 (2^{-1}) = \log_2 \frac{1}{2}$
Получаем неравенство:
$\log_2 (x^2 - 4x + 3,5) > \log_2 \frac{1}{2}$
Основание логарифма $2 > 1$, поэтому функция возрастающая. Переходим к неравенству для аргументов, сохраняя знак:
$x^2 - 4x + 3,5 > 0,5$
$x^2 - 4x + 3 > 0$
Найдем корни уравнения $x^2 - 4x + 3 = 0$. По теореме Виета, корни $x_1 = 1, x_2 = 3$.
Парабола $y = x^2 - 4x + 3$ направлена ветвями вверх, значит, неравенство выполняется при $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$.

Найдем пересечение этого решения с ОДЗ. Для этого сравним числа:
$1$ и $2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$. Так как $\sqrt{2} \approx 1,41$, то $2 - \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2 - 0,705 = 1,295$. Следовательно, $1 < 2 - \frac{\sqrt{2}}{2}$.
$3$ и $2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$. $2 + \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 2 + 0,705 = 2,705$. Следовательно, $3 > 2 + \frac{\sqrt{2}}{2}$.
Таким образом, интервал $(-\infty, 1)$ полностью входит в ОДЗ, и интервал $(3, \infty)$ также полностью входит в ОДЗ.

Ответ: $x \in (-\infty, 1) \cup (3, \infty)$