Номер 1409, страница 413 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1409, страница 413.

Условие.

1409 1) $\sqrt{\lg x} < \frac{1}{2}$;

2) $\log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}} (2x+6) + 2.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим неравенство $ \sqrt{\lg x} < \frac{1}{2} $.

Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Выражение под знаком логарифма должно быть положительным, а выражение под знаком корня — неотрицательным.
$ \begin{cases} x > 0 \\ \lg x \ge 0 \end{cases} $
Решим второе неравенство системы:
$ \lg x \ge 0 $
Представим 0 как логарифм по основанию 10: $ 0 = \lg 1 $.
$ \lg x \ge \lg 1 $
Так как основание десятичного логарифма $10 > 1$, функция является возрастающей, и при переходе к аргументам знак неравенства сохраняется:
$ x \ge 1 $.
Объединяя условия $ x > 0 $ и $ x \ge 1 $, получаем ОДЗ: $ x \ge 1 $.

Теперь решим само неравенство $ \sqrt{\lg x} < \frac{1}{2} $.
Обе части неравенства неотрицательны, поэтому мы можем возвести их в квадрат, сохранив знак неравенства:
$ (\sqrt{\lg x})^2 < (\frac{1}{2})^2 $
$ \lg x < \frac{1}{4} $
Представим правую часть в виде логарифма по основанию 10:
$ \lg x < \lg(10^{\frac{1}{4}}) $
Так как основание логарифма $10 > 1$, переходим к неравенству для аргументов, сохраняя знак:
$ x < 10^{\frac{1}{4}} $, что то же самое, что и $ x < \sqrt[4]{10} $.

Объединим полученное решение с ОДЗ:
$ \begin{cases} x < \sqrt[4]{10} \\ x \ge 1 \end{cases} $
Таким образом, решением неравенства является промежуток $ [1; \sqrt[4]{10}) $.
Ответ: $ [1; \sqrt[4]{10}) $.

2) Решим неравенство $ \log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}} (2x+6) + 2 $.

Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительны:
$ \begin{cases} x > 0 \\ 2x + 6 > 0 \end{cases} $
Решим второе неравенство: $ 2x > -6 \implies x > -3 $.
Пересечение условий $ x > 0 $ и $ x > -3 $ дает ОДЗ: $ x > 0 $.

Преобразуем исходное неравенство. Представим число 2 в виде логарифма по основанию $ \frac{1}{2} $:
$ 2 = 2 \cdot 1 = 2 \cdot \log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2}) = \log_{\frac{1}{2}} ((\frac{1}{2})^2) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} $.
Подставим это в неравенство:
$ \log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}} (2x+6) + \log_{\frac{1}{2}} \frac{1}{4} $.
Используем свойство суммы логарифмов $ \log_a b + \log_a c = \log_a (b \cdot c) $ для правой части:
$ \log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}} ((2x+6) \cdot \frac{1}{4}) $
$ \log_{\frac{1}{2}} x < \log_{\frac{1}{2}} (\frac{2x+6}{4}) $.

Так как основание логарифма $ a = \frac{1}{2} $ находится в интервале $ (0; 1) $, логарифмическая функция является убывающей. Поэтому при переходе к неравенству для аргументов знак неравенства меняется на противоположный:
$ x > \frac{2x+6}{4} $.
Умножим обе части на 4 (знак неравенства не меняется):
$ 4x > 2x+6 $
$ 4x - 2x > 6 $
$ 2x > 6 $
$ x > 3 $.

Теперь необходимо учесть ОДЗ ($ x > 0 $).
Поскольку интервал $ (3; +\infty) $ полностью входит в область допустимых значений $ (0; +\infty) $, то он и является окончательным решением.
Ответ: $ (3; +\infty) $.