Номер 1401, страница 413 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1401, страница 413.

Условие.

1401 1) $2,5^{1 - x} > 2,5^{-3x}$;

2) $0,13^{x - 4} \geq 0,13^{2 - x}$;

3) $(\frac{4}{3})^{2x} \leq (\frac{3}{4})^{x - 1}$;

4) $3^{-4x} > \sqrt{3}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Дано показательное неравенство $2,5^{1-x} > 2,5^{-3x}$.

Основание степени $a = 2,5$. Так как основание больше единицы ($2,5 > 1$), показательная функция $y = 2,5^t$ является возрастающей. Это означает, что большему значению функции соответствует большее значение аргумента (показателя степени). Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.

$1 - x > -3x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть неравенства:

$3x - x > -1$

$2x > -1$

Разделим обе части неравенства на 2 (знак неравенства не меняется):

$x > -0,5$

Ответ: $x \in (-0,5; +\infty)$.

2)

Дано показательное неравенство $0,13^{x-4} \ge 0,13^{2-x}$.

Основание степени $a = 0,13$. Так как основание находится в интервале от 0 до 1 ($0 < 0,13 < 1$), показательная функция $y = 0,13^t$ является убывающей. Это означает, что большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента (показателя степени). Поэтому при переходе к неравенству для показателей знак неравенства меняется на противоположный.

$x - 4 \le 2 - x$

Перенесем слагаемые с переменной $x$ в левую часть, а числовые слагаемые — в правую:

$x + x \le 2 + 4$

$2x \le 6$

Разделим обе части неравенства на 2:

$x \le 3$

Ответ: $x \in (-\infty; 3]$.

3)

Дано показательное неравенство $(\frac{4}{3})^{2x} \le (\frac{3}{4})^{x-1}$.

Основания степеней в левой и правой частях неравенства различны, но являются взаимно обратными числами ($\frac{4}{3}$ и $\frac{3}{4}$). Приведем правую часть к основанию $\frac{4}{3}$, используя свойство степени $a^{-n} = (\frac{1}{a})^n$.

$(\frac{3}{4})^{x-1} = ((\frac{4}{3})^{-1})^{x-1} = (\frac{4}{3})^{-(x-1)} = (\frac{4}{3})^{1-x}$

Теперь неравенство имеет вид:

$(\frac{4}{3})^{2x} \le (\frac{4}{3})^{1-x}$

Основание степени $a = \frac{4}{3}$. Так как основание больше единицы ($\frac{4}{3} > 1$), показательная функция является возрастающей. Следовательно, при переходе к неравенству для показателей знак неравенства сохраняется.

$2x \le 1 - x$

Решим полученное линейное неравенство:

$2x + x \le 1$

$3x \le 1$

$x \le \frac{1}{3}$

Ответ: $x \in (-\infty; \frac{1}{3}]$.

4)

Дано неравенство $3^{-4x} > \sqrt{3}$.

Чтобы решить это показательное неравенство, приведем обе его части к одному основанию, равному 3. Представим $\sqrt{3}$ в виде степени с основанием 3:

$\sqrt{3} = 3^{\frac{1}{2}}$

Подставим это выражение в исходное неравенство:

$3^{-4x} > 3^{\frac{1}{2}}$

Основание степени $a = 3$. Так как основание больше единицы ($3 > 1$), показательная функция является возрастающей. Значит, при переходе к неравенству для показателей степеней знак неравенства сохраняется.

$-4x > \frac{1}{2}$

Чтобы найти $x$, разделим обе части неравенства на -4. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный.

$x < \frac{1/2}{-4}$

$x < -\frac{1}{8}$

Ответ: $x \in (-\infty; -\frac{1}{8})$.