Номер 1391, страница 412 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1391, страница 412.

Условие.

Решить неравенство (1391–1394).

1391 1) $\frac{5x+4}{x-3} < 4$;

2) $\frac{2}{x-4} < 1$;

3) $\frac{2}{x+3} \le 4$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Исходное неравенство: $ \frac{5x+4}{x-3} < 4 $.

Перенесем все члены в левую часть неравенства, чтобы сравнить выражение с нулем: $ \frac{5x+4}{x-3} - 4 < 0 $

Приведем левую часть к общему знаменателю: $ \frac{5x+4 - 4(x-3)}{x-3} < 0 $

Раскроем скобки в числителе и приведем подобные слагаемые: $ \frac{5x+4 - 4x + 12}{x-3} < 0 $
$ \frac{x+16}{x-3} < 0 $

Решим полученное неравенство методом интервалов. Для этого найдем точки, в которых числитель или знаменатель обращаются в ноль.
Нуль числителя: $ x+16=0 \Rightarrow x=-16 $.
Нуль знаменателя: $ x-3=0 \Rightarrow x=3 $. Знаменатель не может быть равен нулю, поэтому точка $ x=3 $ будет "выколотой" на числовой оси.

Нанесем точки -16 и 3 на числовую ось. Они разбивают ось на три интервала: $(-\infty; -16)$, $(-16; 3)$ и $(3; +\infty)$. Определим знак дроби $ \frac{x+16}{x-3} $ на каждом из интервалов, подставив в выражение любое значение из интервала.
- Интервал $(-\infty; -16)$: возьмем $ x=-20 $. $ \frac{-20+16}{-20-3} = \frac{-4}{-23} > 0 $. Знак «+».
- Интервал $(-16; 3)$: возьмем $ x=0 $. $ \frac{0+16}{0-3} = -\frac{16}{3} < 0 $. Знак «-».
- Интервал $(3; +\infty)$: возьмем $ x=4 $. $ \frac{4+16}{4-3} = \frac{20}{1} > 0 $. Знак «+».

Согласно знаку неравенства ($<0$), нас интересует интервал, где выражение отрицательно. Это интервал $(-16; 3)$.

Ответ: $ x \in (-16; 3) $.

2)

Исходное неравенство: $ \frac{2}{x-4} < 1 $.

Перенесем 1 в левую часть: $ \frac{2}{x-4} - 1 < 0 $

Приведем к общему знаменателю: $ \frac{2 - 1(x-4)}{x-4} < 0 $

Упростим числитель: $ \frac{2 - x + 4}{x-4} < 0 $
$ \frac{6 - x}{x-4} < 0 $

Решим неравенство методом интервалов. Найдем нули числителя и знаменателя.
Нуль числителя: $ 6-x=0 \Rightarrow x=6 $.
Нуль знаменателя: $ x-4=0 \Rightarrow x=4 $.

Отметим точки 4 и 6 на числовой оси. Обе точки выколотые, так как неравенство строгое. Определим знаки выражения $ \frac{6-x}{x-4} $ на интервалах $(-\infty; 4)$, $(4; 6)$ и $(6; +\infty)$.
- Интервал $(-\infty; 4)$: возьмем $ x=0 $. $ \frac{6-0}{0-4} = -\frac{3}{2} < 0 $. Знак «-».
- Интервал $(4; 6)$: возьмем $ x=5 $. $ \frac{6-5}{5-4} = 1 > 0 $. Знак «+».
- Интервал $(6; +\infty)$: возьмем $ x=10 $. $ \frac{6-10}{10-4} = -\frac{4}{6} < 0 $. Знак «-».

Нас интересуют интервалы, где выражение меньше нуля. Это объединение интервалов $(-\infty; 4)$ и $(6; +\infty)$.

Ответ: $ x \in (-\infty; 4) \cup (6; +\infty) $.

3)

Исходное неравенство: $ \frac{2}{x+3} \le 4 $.

Перенесем 4 в левую часть: $ \frac{2}{x+3} - 4 \le 0 $

Приведем к общему знаменателю: $ \frac{2 - 4(x+3)}{x+3} \le 0 $

Упростим числитель: $ \frac{2 - 4x - 12}{x+3} \le 0 $
$ \frac{-4x - 10}{x+3} \le 0 $

Чтобы избавиться от знака "минус" при старшем коэффициенте в числителе, умножим обе части неравенства на -1, изменив при этом знак неравенства на противоположный: $ \frac{4x + 10}{x+3} \ge 0 $

Решим полученное неравенство методом интервалов.
Нуль числителя: $ 4x+10=0 \Rightarrow 4x=-10 \Rightarrow x=-2.5 $. Так как неравенство нестрогое ($\ge$), эта точка включается в решение (закрашенная).
Нуль знаменателя: $ x+3=0 \Rightarrow x=-3 $. Эта точка исключается из решения, так как знаменатель не может быть равен нулю (выколотая).

Отметим точки -3 и -2.5 на числовой оси и определим знаки выражения $ \frac{4x+10}{x+3} $ на интервалах $(-\infty; -3)$, $(-3; -2.5]$ и $[-2.5; +\infty)$.
- Интервал $(-\infty; -3)$: возьмем $ x=-4 $. $ \frac{4(-4)+10}{-4+3} = \frac{-6}{-1} = 6 > 0 $. Знак «+».
- Интервал $(-3; -2.5]$: возьмем $ x=-2.6 $. $ \frac{4(-2.6)+10}{-2.6+3} = \frac{-10.4+10}{0.4} = \frac{-0.4}{0.4} = -1 < 0 $. Знак «-».
- Интервал $[-2.5; +\infty)$: возьмем $ x=0 $. $ \frac{4(0)+10}{0+3} = \frac{10}{3} > 0 $. Знак «+».

Нас интересуют интервалы, где выражение больше или равно нулю. Это объединение интервалов $(-\infty; -3)$ и $[-2.5; +\infty)$.

Ответ: $ x \in (-\infty; -3) \cup [-2.5; +\infty) $.