Номер 1388, страница 412 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 3. Неравенства - номер 1388, страница 412.

Условие.

1388 1) $\frac{4-3x}{8} - \frac{5-2x}{12} < 2$;

2) $\frac{5x-7}{6} - \frac{x+2}{7} \ge 2$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим неравенство $\frac{4-3x}{8} - \frac{5-2x}{12} < 2$.

Чтобы избавиться от дробей, умножим обе части неравенства на наименьшее общее кратное знаменателей 8 и 12. Наименьшее общее кратное (НОК) для 8 и 12 равно 24. Так как мы умножаем на положительное число, знак неравенства не меняется.

$24 \cdot \left( \frac{4-3x}{8} - \frac{5-2x}{12} \right) < 2 \cdot 24$

$\frac{24(4-3x)}{8} - \frac{24(5-2x)}{12} < 48$

$3(4-3x) - 2(5-2x) < 48$

Раскроем скобки в левой части неравенства:

$12 - 9x - 10 + 4x < 48$

Приведем подобные слагаемые:

$(12 - 10) + (-9x + 4x) < 48$

$2 - 5x < 48$

Перенесем 2 в правую часть, изменив знак:

$-5x < 48 - 2$

$-5x < 46$

Разделим обе части неравенства на -5. При делении на отрицательное число знак неравенства меняется на противоположный:

$x > \frac{46}{-5}$

$x > -9.2$

Таким образом, решение неравенства — это все числа, большие -9.2. В виде интервала это записывается как $(-9.2; +\infty)$.

Ответ: $x \in (-9.2; +\infty)$.

---

2) Решим неравенство $\frac{5x-7}{6} - \frac{x+2}{7} \ge 2$.

Найдем наименьшее общее кратное знаменателей 6 и 7. НОК(6, 7) = 42. Умножим обе части неравенства на 42. Знак неравенства сохранится, так как 42 > 0.

$42 \cdot \left( \frac{5x-7}{6} - \frac{x+2}{7} \right) \ge 2 \cdot 42$

$\frac{42(5x-7)}{6} - \frac{42(x+2)}{7} \ge 84$

$7(5x-7) - 6(x+2) \ge 84$

Раскроем скобки:

$35x - 49 - 6x - 12 \ge 84$

Приведем подобные слагаемые в левой части:

$(35x - 6x) + (-49 - 12) \ge 84$

$29x - 61 \ge 84$

Перенесем -61 в правую часть с противоположным знаком:

$29x \ge 84 + 61$

$29x \ge 145$

Разделим обе части на 29:

$x \ge \frac{145}{29}$

$x \ge 5$

Решением неравенства являются все числа, большие или равные 5. В виде интервала это записывается как $[5; +\infty)$.

Ответ: $x \in [5; +\infty)$.