Номер 1380, страница 411 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1380, страница 411.

Условие.

1380 1) $\sin x + \sin 5x = \sin 3x;$

2) $\cos 7x - \cos 3x = 3 \sin 5x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим уравнение $ \sin x + \sin 5x = \sin 3x $.

Перенесем $ \sin 3x $ в левую часть уравнения и сгруппируем слагаемые:

$ (\sin 5x + \sin x) - \sin 3x = 0 $

Применим к выражению в скобках формулу суммы синусов: $ \sin \alpha + \sin \beta = 2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \cos \frac{\alpha-\beta}{2} $.

Для $ \alpha = 5x $ и $ \beta = x $ получаем:

$ \sin 5x + \sin x = 2 \sin \frac{5x+x}{2} \cos \frac{5x-x}{2} = 2 \sin 3x \cos 2x $.

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$ 2 \sin 3x \cos 2x - \sin 3x = 0 $.

Вынесем общий множитель $ \sin 3x $ за скобки:

$ \sin 3x (2 \cos 2x - 1) = 0 $.

Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю. Это приводит к двум независимым уравнениям:

Случай 1:

$ \sin 3x = 0 $

Решение этого простейшего тригонометрического уравнения:

$ 3x = k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $ (k — любое целое число).

Отсюда, $ x = \frac{k\pi}{3}, k \in \mathbb{Z} $.

Случай 2:

$ 2 \cos 2x - 1 = 0 $

$ 2 \cos 2x = 1 $

$ \cos 2x = \frac{1}{2} $

Решение этого уравнения:

$ 2x = \pm \arccos\left(\frac{1}{2}\right) + 2n\pi $, где $ n \in \mathbb{Z} $.

$ 2x = \pm \frac{\pi}{3} + 2n\pi $.

Отсюда, $ x = \pm \frac{\pi}{6} + n\pi, n \in \mathbb{Z} $.

Объединяя решения из обоих случаев, получаем итоговый ответ.

Ответ: $ \frac{k\pi}{3}; \pm \frac{\pi}{6} + n\pi $, где $ k, n \in \mathbb{Z} $.

2) Решим уравнение $ \cos 7x - \cos 3x = 3 \sin 5x $.

Применим к левой части уравнения формулу разности косинусов: $ \cos \alpha - \cos \beta = -2 \sin \frac{\alpha+\beta}{2} \sin \frac{\alpha-\beta}{2} $.

Для $ \alpha = 7x $ и $ \beta = 3x $ получаем:

$ \cos 7x - \cos 3x = -2 \sin \frac{7x+3x}{2} \sin \frac{7x-3x}{2} = -2 \sin 5x \sin 2x $.

Подставим полученное выражение в исходное уравнение:

$ -2 \sin 5x \sin 2x = 3 \sin 5x $.

Перенесем все члены в левую часть:

$ -2 \sin 5x \sin 2x - 3 \sin 5x = 0 $.

Вынесем общий множитель $ -\sin 5x $ за скобки:

$ -\sin 5x (2 \sin 2x + 3) = 0 $.

Это уравнение распадается на два:

Случай 1:

$ \sin 5x = 0 $

Решение этого уравнения:

$ 5x = k\pi $, где $ k \in \mathbb{Z} $.

$ x = \frac{k\pi}{5}, k \in \mathbb{Z} $.

Случай 2:

$ 2 \sin 2x + 3 = 0 $

$ 2 \sin 2x = -3 $

$ \sin 2x = -\frac{3}{2} $.

Данное уравнение не имеет действительных решений, поскольку область значений функции синус — это отрезок $ [-1, 1] $, а число $ -1.5 $ не принадлежит этому отрезку ($ -1.5 < -1 $).

Таким образом, единственными решениями исходного уравнения являются решения из первого случая.

Ответ: $ \frac{k\pi}{5} $, где $ k \in \mathbb{Z} $.