Номер 1374, страница 411 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1374, страница 411.

Условие.

1374 $\frac{\cos 2x}{1 - \sin 2x} = \cos x + \sin x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Исходное уравнение: $$ \frac{\cos 2x}{1 - \sin 2x} = \cos x + \sin x $$ Область допустимых значений (ОДЗ) определяется условием, что знаменатель не равен нулю: $1 - \sin 2x \neq 0$.
Это равносильно $\sin 2x \neq 1$.
Отсюда $2x \neq \frac{\pi}{2} + 2\pi k$, и, следовательно, $x \neq \frac{\pi}{4} + \pi k$ для всех целых $k$.

Преобразуем левую часть уравнения, используя формулы двойного угла ($\cos 2x = \cos^2 x - \sin^2 x$, $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$) и основное тригонометрическое тождество ($1 = \sin^2 x + \cos^2 x$): $$ \frac{\cos 2x}{1 - \sin 2x} = \frac{\cos^2 x - \sin^2 x}{\sin^2 x + \cos^2 x - 2 \sin x \cos x} $$ Числитель представляет собой разность квадратов, а знаменатель — полный квадрат разности: $$ \frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{(\cos x - \sin x)^2} $$ В области допустимых значений $\cos x - \sin x \neq 0$, поэтому дробь можно сократить: $$ \frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x} $$

Таким образом, исходное уравнение принимает вид: $$ \frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x} = \cos x + \sin x $$ Перенесем все в левую часть и вынесем общий множитель $(\cos x + \sin x)$ за скобки: $$ \frac{\cos x + \sin x}{\cos x - \sin x} - (\cos x + \sin x) = 0 $$ $$ (\cos x + \sin x) \left( \frac{1}{\cos x - \sin x} - 1 \right) = 0 $$

Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Это приводит к совокупности двух уравнений:
1. $\cos x + \sin x = 0$
2. $\frac{1}{\cos x - \sin x} - 1 = 0$

Решим первое уравнение: $\cos x + \sin x = 0$.
Разделив на $\cos x$ (который не может быть равен нулю, иначе $\sin x$ тоже был бы равен нулю, что невозможно), получим $\tan x = -1$.
Первая серия решений: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Решим второе уравнение: $\frac{1}{\cos x - \sin x} - 1 = 0$.
Отсюда $\cos x - \sin x = 1$. Применим метод введения вспомогательного угла. Умножим обе части на $\frac{\sqrt{2}}{2}$:
$\frac{\sqrt{2}}{2}\cos x - \frac{\sqrt{2}}{2}\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos\frac{\pi}{4}\cos x - \sin\frac{\pi}{4}\sin x = \frac{\sqrt{2}}{2}$
$\cos(x + \frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$
Это уравнение дает две серии решений:
а) $x + \frac{\pi}{4} = \frac{\pi}{4} + 2\pi m \implies x = 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
б) $x + \frac{\pi}{4} = -\frac{\pi}{4} + 2\pi m \implies x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.

Все найденные серии решений удовлетворяют ОДЗ. Объединив их, получаем окончательный ответ.
Ответ: $x = -\frac{\pi}{4} + \pi n; \quad x = 2\pi m; \quad x = -\frac{\pi}{2} + 2\pi m$, где $n,m \in \mathbb{Z}$.