Номер 1372, страница 411 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1372, страница 411.

Условие.

1372 1) $\text{tg}^3 x + \text{tg}^2 x - 2 \text{tg} x - 2 = 0;$

2) $1 - \cos x = \text{tg} x - \sin x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное уравнение: $\text{tg}^3 x + \text{tg}^2 x - 2 \text{tg} x - 2 = 0$.
Это алгебраическое уравнение третьей степени относительно $\text{tg} x$. Для его решения введем замену переменной. Пусть $t = \text{tg} x$. Тогда уравнение принимает вид:
$t^3 + t^2 - 2t - 2 = 0$
Разложим левую часть уравнения на множители методом группировки слагаемых:
$(t^3 + t^2) - (2t + 2) = 0$
$t^2(t + 1) - 2(t + 1) = 0$
Вынесем общий множитель $(t+1)$ за скобки:
$(t^2 - 2)(t + 1) = 0$
Произведение равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Таким образом, получаем совокупность двух уравнений:
1) $t + 1 = 0 \implies t_1 = -1$
2) $t^2 - 2 = 0 \implies t^2 = 2 \implies t_{2,3} = \pm\sqrt{2}$
Теперь выполним обратную замену, чтобы найти значения $x$:
1) $\text{tg} x = -1$
$x = \text{arctan}(-1) + \pi n = -\frac{\pi}{4} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.
2) $\text{tg} x = \sqrt{2}$
$x = \text{arctan}(\sqrt{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
3) $\text{tg} x = -\sqrt{2}$
$x = \text{arctan}(-\sqrt{2}) + \pi m = -\text{arctan}(\sqrt{2}) + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$.
Две последние серии решений можно объединить в одну: $x = \pm \text{arctan}(\sqrt{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.
Ответ: $-\frac{\pi}{4} + \pi n, n \in \mathbb{Z}$; $\pm \text{arctan}(\sqrt{2}) + \pi k, k \in \mathbb{Z}$.

2) Исходное уравнение: $1 - \cos x = \text{tg} x - \sin x$.
Определим область допустимых значений (ОДЗ). Тангенс определен, когда косинус не равен нулю: $\cos x \neq 0$, что означает $x \neq \frac{\pi}{2} + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Преобразуем уравнение, заменив $\text{tg} x$ на отношение $\frac{\sin x}{\cos x}$:
$1 - \cos x = \frac{\sin x}{\cos x} - \sin x$
В правой части вынесем $\sin x$ за скобки:
$1 - \cos x = \sin x \left(\frac{1}{\cos x} - 1\right)$
Приведем выражение в скобках к общему знаменателю:
$1 - \cos x = \sin x \frac{1 - \cos x}{\cos x}$
Перенесем все слагаемые в левую часть:
$(1 - \cos x) - \sin x \frac{1 - \cos x}{\cos x} = 0$
Вынесем общий множитель $(1 - \cos x)$ за скобки:
$(1 - \cos x)\left(1 - \frac{\sin x}{\cos x}\right) = 0$
Заменим дробь обратно на тангенс:
$(1 - \cos x)(1 - \text{tg} x) = 0$
Произведение равно нулю, если один из множителей равен нулю. Получаем два случая:
1) $1 - \cos x = 0 \implies \cos x = 1$.
Решения этого уравнения: $x = 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$. Эти значения удовлетворяют ОДЗ, так как $\cos(2\pi n) = 1 \neq 0$.
2) $1 - \text{tg} x = 0 \implies \text{tg} x = 1$.
Решения этого уравнения: $x = \frac{\pi}{4} + \pi m$, где $m \in \mathbb{Z}$. Эти значения также удовлетворяют ОДЗ, поскольку $\cos(\frac{\pi}{4} + \pi m) = \pm\frac{\sqrt{2}}{2} \neq 0$.
Ответ: $2\pi n, n \in \mathbb{Z}$; $\frac{\pi}{4} + \pi m, m \in \mathbb{Z}$.