Номер 1370, страница 411 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1370, страница 411.

Условие.

1370 1) $4 \sin^4 x + \sin^2 2x = 2;$

2) $\sin^4 \frac{x}{3} + \cos^4 \frac{x}{3} = \frac{5}{8}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1)

Исходное уравнение: $4 \sin^4 x + \sin^2 2x = 2$.

Используем формулу синуса двойного угла $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$. Тогда $\sin^2 2x = (2 \sin x \cos x)^2 = 4 \sin^2 x \cos^2 x$.

Подставим это выражение в уравнение:

$4 \sin^4 x + 4 \sin^2 x \cos^2 x = 2$

Вынесем за скобки общий множитель $4 \sin^2 x$:

$4 \sin^2 x (\sin^2 x + \cos^2 x) = 2$

Применим основное тригонометрическое тождество $\sin^2 x + \cos^2 x = 1$:

$4 \sin^2 x \cdot 1 = 2$

$4 \sin^2 x = 2$

$\sin^2 x = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$

Для решения этого уравнения можно использовать формулу понижения степени $\sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2}$:

$\frac{1 - \cos 2x}{2} = \frac{1}{2}$

$1 - \cos 2x = 1$

$-\cos 2x = 0$

$\cos 2x = 0$

Это частный случай тригонометрического уравнения. Решения имеют вид:

$2x = \frac{\pi}{2} + \pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Разделим обе части на 2, чтобы найти $x$:

$x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \frac{\pi}{4} + \frac{\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.

2)

Исходное уравнение: $\sin^4 \frac{x}{3} + \cos^4 \frac{x}{3} = \frac{5}{8}$.

Для удобства введем замену $y = \frac{x}{3}$. Уравнение примет вид:

$\sin^4 y + \cos^4 y = \frac{5}{8}$

Преобразуем левую часть уравнения, используя тождество $a^2+b^2 = (a+b)^2-2ab$. Пусть $a = \sin^2 y$ и $b = \cos^2 y$:

$\sin^4 y + \cos^4 y = (\sin^2 y)^2 + (\cos^2 y)^2 = (\sin^2 y + \cos^2 y)^2 - 2 \sin^2 y \cos^2 y$

Используя основное тригонометрическое тождество $\sin^2 y + \cos^2 y = 1$ и формулу синуса двойного угла $\sin 2y = 2 \sin y \cos y$, из которой следует, что $2 \sin^2 y \cos^2 y = \frac{1}{2} (4 \sin^2 y \cos^2 y) = \frac{1}{2} \sin^2 2y$, получаем:

$\sin^4 y + \cos^4 y = 1^2 - \frac{1}{2} \sin^2 2y = 1 - \frac{1}{2} \sin^2 2y$

Подставим это выражение обратно в уравнение:

$1 - \frac{1}{2} \sin^2 2y = \frac{5}{8}$

Решим полученное уравнение относительно $\sin^2 2y$:

$-\frac{1}{2} \sin^2 2y = \frac{5}{8} - 1$

$-\frac{1}{2} \sin^2 2y = -\frac{3}{8}$

$\sin^2 2y = \frac{3}{4}$

Теперь применим формулу понижения степени $\sin^2 \alpha = \frac{1 - \cos 2\alpha}{2}$. В нашем случае $\alpha = 2y$:

$\frac{1 - \cos(2 \cdot 2y)}{2} = \frac{3}{4}$

$\frac{1 - \cos 4y}{2} = \frac{3}{4}$

$1 - \cos 4y = \frac{3}{2}$

$-\cos 4y = \frac{3}{2} - 1 = \frac{1}{2}$

$\cos 4y = -\frac{1}{2}$

Решение этого уравнения:

$4y = \pm \arccos\left(-\frac{1}{2}\right) + 2\pi n = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Найдем $y$:

$y = \pm \frac{2\pi}{12} + \frac{2\pi n}{4} = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$

Сделаем обратную замену $y = \frac{x}{3}$:

$\frac{x}{3} = \pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}$

Умножим обе части на 3, чтобы найти $x$:

$x = 3 \left(\pm \frac{\pi}{6} + \frac{\pi n}{2}\right) = \pm \frac{3\pi}{6} + \frac{3\pi n}{2} = \pm \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi n}{2}$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Ответ: $x = \pm \frac{\pi}{2} + \frac{3\pi n}{2}, n \in \mathbb{Z}$.