Номер 1364, страница 410 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1364, страница 410.

Условие.

1364 1) $3 \cos^2 x - 5 \cos x - 12 = 0;$

2) $3 \operatorname{tg}^2 x - 4 \operatorname{tg} x + 5 = 0.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Данное уравнение $3 \cos^2 x - 5 \cos x - 12 = 0$ является квадратным уравнением относительно $\cos x$.
Чтобы решить его, введем замену переменной. Пусть $t = \cos x$. Учитывая, что область значений функции косинуса $[-1; 1]$, для переменной $t$ должно выполняться условие $|t| \le 1$.
После замены уравнение принимает вид:
$3t^2 - 5t - 12 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения по формуле $D = b^2 - 4ac$:
$D = (-5)^2 - 4 \cdot 3 \cdot (-12) = 25 + 144 = 169$
Поскольку $D > 0$, уравнение имеет два действительных корня. Найдем их:
$t_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 \pm \sqrt{169}}{2 \cdot 3} = \frac{5 \pm 13}{6}$
$t_1 = \frac{5 + 13}{6} = \frac{18}{6} = 3$
$t_2 = \frac{5 - 13}{6} = \frac{-8}{6} = -\frac{4}{3}$
Теперь вернемся к замене $t = \cos x$:
1. $\cos x = 3$. Это уравнение не имеет решений, так как $3$ не входит в область значений функции косинуса, то есть $3 > 1$.
2. $\cos x = -\frac{4}{3}$. Это уравнение также не имеет решений, так как $-\frac{4}{3}$ не входит в область значений функции косинуса, то есть $-\frac{4}{3} < -1$.
Следовательно, исходное уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.

2) Рассмотрим уравнение $3 \operatorname{tg}^2 x - 4 \operatorname{tg} x + 5 = 0$. Это уравнение является квадратным относительно $\operatorname{tg} x$.
Введем замену переменной. Пусть $y = \operatorname{tg} x$. Область значений тангенса — все действительные числа, поэтому на $y$ нет ограничений.
Уравнение примет вид:
$3y^2 - 4y + 5 = 0$
Найдем дискриминант этого квадратного уравнения:
$D = b^2 - 4ac = (-4)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 5 = 16 - 60 = -44$
Поскольку дискриминант $D < 0$, квадратное уравнение $3y^2 - 4y + 5 = 0$ не имеет действительных корней.
Это означает, что не существует такого действительного числа $y$, которое удовлетворяло бы этому уравнению. Следовательно, не существует и такого $x$, для которого $\operatorname{tg} x$ был бы равен $y$.
Таким образом, исходное тригонометрическое уравнение не имеет решений.
Ответ: нет решений.