Номер 1361, страница 410 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1361, страница 410.

Условие.

1361 Решить графически уравнение:

1) $0.5^x = 2x + 1;$

2) $2^x = 3 - x^2;$

3) $\log_3 x = 4 - x;$

4) $\log_{\frac{1}{2}} x = 4x^2;$

5) $2^x = \log_{0.5} x;$

6) $(\frac{1}{3})^x = \log_3 x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для решения уравнений графическим методом необходимо построить в одной системе координат графики функций, соответствующих левой и правой частям уравнения. Абсциссы точек пересечения этих графиков и будут решениями уравнения.

1) $0.5^x = 2x + 1$

Построим графики двух функций: $y = 0.5^x$ и $y = 2x + 1$.
$y = 0.5^x$ — это показательная функция, основание которой $0.5$ меньше 1, поэтому функция является убывающей. График проходит через точки $(-1, 2)$, $(0, 1)$, $(1, 0.5)$.
$y = 2x + 1$ — это линейная функция, её график — прямая. Для построения прямой найдём две точки, например, $(0, 1)$ и $(-0.5, 0)$.
Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в одной точке с координатами $(0, 1)$. Поскольку функция $y = 0.5^x$ является строго убывающей, а функция $y = 2x + 1$ — строго возрастающей, они могут иметь не более одной точки пересечения. Проверим корень $x=0$:
$0.5^0 = 1$
$2 \cdot 0 + 1 = 1$
$1=1$, следовательно, $x=0$ является решением уравнения.

Ответ: $x=0$.

2) $2^x = 3 - x^2$

Построим графики двух функций: $y = 2^x$ и $y = 3 - x^2$.
$y = 2^x$ — это показательная функция, основание которой $2$ больше 1, поэтому функция является возрастающей. График проходит через точки $(0, 1)$, $(1, 2)$, $(2, 4)$.
$y = 3 - x^2$ — это квадратичная функция, её график — парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы находится в точке $(0, 3)$. График проходит через точки $(1, 2)$ и $(-1, 2)$.
При построении графиков видно, что они пересекаются в двух точках. Координаты одной из точек пересечения легко определяются из графика — это точка $(1, 2)$.
Проверим корень $x=1$:
$2^1 = 2$
$3 - 1^2 = 3 - 1 = 2$
$2=2$, следовательно, $x=1$ является решением уравнения.
Вторая точка пересечения имеет абсциссу в интервале $(-2, -1)$, и ее точное значение не является целым или простым рациональным числом. В таких случаях, как правило, в ответе указывают только те корни, которые можно найти точно.

Ответ: $x=1$.

3) $\log_3 x = 4 - x$

Построим графики двух функций: $y = \log_3 x$ и $y = 4 - x$.
Область допустимых значений (ОДЗ) для логарифмической функции: $x > 0$.
$y = \log_3 x$ — это логарифмическая функция, основание которой $3$ больше 1, поэтому функция является возрастающей. График проходит через точки $(1, 0)$, $(3, 1)$, $(9, 2)$.
$y = 4 - x$ — это линейная функция, её график — убывающая прямая. График проходит через точки $(0, 4)$ и $(4, 0)$, а также через точку $(3, 1)$.
Построив оба графика, мы видим, что они пересекаются в точке $(3, 1)$. Поскольку функция $y = \log_3 x$ на всей области определения строго возрастает, а функция $y = 4 - x$ строго убывает, они могут иметь не более одной точки пересечения.
Проверим корень $x=3$:
$\log_3 3 = 1$
$4 - 3 = 1$
$1=1$, следовательно, $x=3$ является решением уравнения.

Ответ: $x=3$.

4) $\log_{\frac{1}{2}} x = 4x^2$

Построим графики двух функций: $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ и $y = 4x^2$.
ОДЗ: $x > 0$.
$y = \log_{\frac{1}{2}} x$ — это логарифмическая функция, основание которой $\frac{1}{2}$ меньше 1, поэтому функция является убывающей. График проходит через точки $(1, 0)$, $(\frac{1}{2}, 1)$, $(\frac{1}{4}, 2)$.
$y = 4x^2$ — это квадратичная функция, её график — парабола с ветвями вверх и вершиной в точке $(0, 0)$. На области $x > 0$ эта функция возрастает. График проходит через точки $(\frac{1}{2}, 1)$ и $(1, 4)$.
Графики пересекаются в точке $(\frac{1}{2}, 1)$. На области $x > 0$ функция $y = \log_{\frac{1}{2}} x$ строго убывает, а функция $y = 4x^2$ строго возрастает, поэтому точка пересечения единственная.
Проверим корень $x=\frac{1}{2}$:
$\log_{\frac{1}{2}} (\frac{1}{2}) = 1$
$4(\frac{1}{2})^2 = 4 \cdot \frac{1}{4} = 1$
$1=1$, следовательно, $x=\frac{1}{2}$ является решением уравнения.

Ответ: $x=\frac{1}{2}$.

5) $2^x = \log_{0.5} x$

Построим графики двух функций: $y = 2^x$ и $y = \log_{0.5} x$.
ОДЗ: $x > 0$.
$y = 2^x$ — возрастающая показательная функция. График проходит через $(0, 1)$, $(1, 2)$.
$y = \log_{0.5} x$ — убывающая логарифмическая функция. График проходит через $(1, 0)$, $(0.5, 1)$, $(0.25, 2)$.
На ОДЗ ($x>0$) функция $y=2^x$ строго возрастает, а $y=\log_{0.5} x$ строго убывает, следовательно, уравнение может иметь не более одного корня. Из графика видно, что точка пересечения существует. Найдем интервал, в котором находится корень. При $x=0.25$: $y=2^{0.25} = \sqrt[4]{2} \approx 1.19$; $y=\log_{0.5} 0.25 = 2$. Здесь $2^x < \log_{0.5} x$. При $x=0.5$: $y=2^{0.5} = \sqrt{2} \approx 1.41$; $y=\log_{0.5} 0.5 = 1$. Здесь $2^x > \log_{0.5} x$. Поскольку на концах интервала $(0.25, 0.5)$ значения разности функций меняют знак, корень уравнения находится внутри этого интервала. Точное значение корня не выражается через элементарные функции.

Ответ: Уравнение имеет один корень $x_0 \in (0.25, 0.5)$.

6) $\left(\frac{1}{3}\right)^x = \log_3 x$

Построим графики двух функций: $y = (\frac{1}{3})^x$ и $y = \log_3 x$.
ОДЗ: $x > 0$.
$y = (\frac{1}{3})^x$ — убывающая показательная функция. График проходит через $(0, 1)$, $(1, \frac{1}{3})$.
$y = \log_3 x$ — возрастающая логарифмическая функция. График проходит через $(1, 0)$, $(3, 1)$.
На ОДЗ ($x>0$) функция $y=(\frac{1}{3})^x$ строго убывает, а $y=\log_3 x$ строго возрастает, следовательно, уравнение может иметь не более одного корня. Из графика видно, что точка пересечения существует. Найдем интервал, в котором находится корень. При $x=1$: $y=(\frac{1}{3})^1 = \frac{1}{3}$; $y=\log_3 1 = 0$. Здесь $(\frac{1}{3})^x > \log_3 x$. При $x=3$: $y=(\frac{1}{3})^3 = \frac{1}{27}$; $y=\log_3 3 = 1$. Здесь $(\frac{1}{3})^x < \log_3 x$. Поскольку на концах интервала $(1, 3)$ значения разности функций меняют знак, корень уравнения находится внутри этого интервала. Точное значение корня не выражается через элементарные функции.

Ответ: Уравнение имеет один корень $x_0 \in (1, 3)$.