Номер 1362, страница 410 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1362, страница 410.

Условие.

1362 Используя графики синуса или косинуса, найти все корни уравнения, принадлежащие промежутку $[-\pi; 3\pi]$:

1) $\cos x = -\frac{1}{2}$;

2) $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы найти корни уравнений на заданном промежутке, мы будем использовать графический метод. Это означает, что мы построим график соответствующей тригонометрической функции ($y = \cos x$ или $y = \sin x$) и горизонтальную прямую, соответствующую правой части уравнения. Абсциссы (координаты $x$) точек пересечения этих двух графиков и будут являться решениями уравнения. Затем мы отберем только те решения, которые попадают в указанный промежуток $[-\pi; 3\pi]$.

1) $\cos x = -\frac{1}{2}$

Рассмотрим графики функций $y = \cos x$ и $y = -\frac{1}{2}$ на промежутке $[-\pi; 3\pi]$.

Корни уравнения — это абсциссы точек пересечения косинусоиды с прямой $y = -\frac{1}{2}$.

Сначала найдем общее решение уравнения $\cos x = -\frac{1}{2}$.
$x = \pm \arccos(-\frac{1}{2}) + 2\pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arccos(-\frac{1}{2}) = \frac{2\pi}{3}$, общее решение имеет вид:
$x = \pm \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Это можно разбить на две серии корней:
1. $x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$
2. $x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$

Теперь выберем корни, принадлежащие промежутку $[-\pi; 3\pi]$, перебирая целые значения $k$.
Для первой серии $x_1 = \frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

• При $k = -1$, $x = \frac{2\pi}{3} - 2\pi = -\frac{4\pi}{3}$. Этот корень не входит в промежуток $[-\pi; 3\pi]$, так как $-\frac{4\pi}{3} < -\pi$.
• При $k = 0$, $x = \frac{2\pi}{3}$. Этот корень входит в промежуток.
• При $k = 1$, $x = \frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{8\pi}{3}$. Этот корень входит в промежуток, так как $\frac{8\pi}{3} < 3\pi$.
• При $k = 2$, $x = \frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{14\pi}{3}$. Этот корень не входит в промежуток, так как $\frac{14\pi}{3} > 3\pi$.

Для второй серии $x_2 = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi k$:

• При $k = 0$, $x = -\frac{2\pi}{3}$. Этот корень входит в промежуток.
• При $k = 1$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 2\pi = \frac{4\pi}{3}$. Этот корень входит в промежуток.
• При $k = 2$, $x = -\frac{2\pi}{3} + 4\pi = \frac{10\pi}{3}$. Этот корень не входит в промежуток, так как $\frac{10\pi}{3} > 3\pi$.

Таким образом, на промежутке $[-\pi; 3\pi]$ есть четыре точки пересечения с абсциссами: $-\frac{2\pi}{3}, \frac{2\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{8\pi}{3}$.

Ответ: $x \in \{-\frac{2\pi}{3}; \frac{2\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{8\pi}{3}\}$.

2) $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$

Рассмотрим графики функций $y = \sin x$ и $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$ на промежутке $[-\pi; 3\pi]$.

Корни уравнения — это абсциссы точек пересечения синусоиды с прямой $y = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.

Найдем общее решение уравнения $\sin x = -\frac{\sqrt{3}}{2}$.
$x = (-1)^k \arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) + \pi k$, где $k \in \mathbb{Z}$.
Поскольку $\arcsin(-\frac{\sqrt{3}}{2}) = -\frac{\pi}{3}$, общее решение имеет вид:
$x = (-1)^k (-\frac{\pi}{3}) + \pi k = (-1)^{k+1} \frac{\pi}{3} + \pi k$, $k \in \mathbb{Z}$.

Для удобства отбора корней, представим общее решение в виде двух серий:
1. $x_1 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$
2. $x_2 = \pi - (-\frac{\pi}{3}) + 2\pi n = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$, где $n \in \mathbb{Z}$.

Теперь выберем корни, принадлежащие промежутку $[-\pi; 3\pi]$, перебирая целые значения $n$.
Для первой серии $x_1 = -\frac{\pi}{3} + 2\pi n$:

• При $n = 0$, $x = -\frac{\pi}{3}$. Этот корень входит в промежуток.
• При $n = 1$, $x = -\frac{\pi}{3} + 2\pi = \frac{5\pi}{3}$. Этот корень входит в промежуток.
• При $n = 2$, $x = -\frac{\pi}{3} + 4\pi = \frac{11\pi}{3}$. Этот корень не входит в промежуток, так как $\frac{11\pi}{3} > 3\pi$.

Для второй серии $x_2 = \frac{4\pi}{3} + 2\pi n$:

• При $n = -1$, $x = \frac{4\pi}{3} - 2\pi = -\frac{2\pi}{3}$. Этот корень входит в промежуток.
• При $n = 0$, $x = \frac{4\pi}{3}$. Этот корень входит в промежуток.
• При $n = 1$, $x = \frac{4\pi}{3} + 2\pi = \frac{10\pi}{3}$. Этот корень не входит в промежуток, так как $\frac{10\pi}{3} > 3\pi$.

Таким образом, на промежутке $[-\pi; 3\pi]$ есть четыре точки пересечения с абсциссами: $-\frac{2\pi}{3}, -\frac{\pi}{3}, \frac{4\pi}{3}, \frac{5\pi}{3}$.

Ответ: $x \in \{-\frac{2\pi}{3}; -\frac{\pi}{3}; \frac{4\pi}{3}; \frac{5\pi}{3}\}$.