Номер 1359, страница 410 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1359, страница 410.

Условие.

1359 Могут ли корни уравнения $(x - m)(x - n) = k^2$ быть чисто мнимыми, если $m, n$ и $k$ — действительные числа?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для того чтобы ответить на этот вопрос, преобразуем данное уравнение в стандартный вид квадратного уравнения.

Исходное уравнение: $(x - m)(x - n) = k^2$.

Раскроем скобки:

$x^2 - nx - mx + mn = k^2$

$x^2 - (m+n)x + (mn - k^2) = 0$

Это квадратное уравнение вида $ax^2 + bx + c = 0$, где коэффициенты $a=1$, $b=-(m+n)$ и $c=mn-k^2$ являются действительными числами, так как по условию $m$, $n$ и $k$ — действительные числа.

Предположим, что корни этого уравнения являются чисто мнимыми. Чисто мнимое число имеет вид $x = yi$, где $y$ — действительное число и $y \neq 0$.

Поскольку коэффициенты квадратного уравнения действительные, его комплексные корни должны быть комплексно-сопряженными. Если один корень $x_1 = yi$, то второй корень должен быть $x_2 = -yi$.

Воспользуемся теоремой Виета для нашего уравнения:

1. Сумма корней: $x_1 + x_2 = - \frac{b}{a} = - \frac{-(m+n)}{1} = m+n$.
2. Произведение корней: $x_1 \cdot x_2 = \frac{c}{a} = \frac{mn - k^2}{1} = mn - k^2$.

Теперь подставим наши предполагаемые корни $x_1 = yi$ и $x_2 = -yi$ в эти соотношения.

Из первого соотношения (сумма корней):

$yi + (-yi) = m+n$

$0 = m+n$

Это означает, что должно выполняться условие $n = -m$.

Из второго соотношения (произведение корней):

$(yi) \cdot (-yi) = mn - k^2$

$-y^2i^2 = mn - k^2$

$-y^2(-1) = mn - k^2$

$y^2 = mn - k^2$

Теперь подставим в это равенство найденное ранее условие $n = -m$:

$y^2 = m(-m) - k^2$

$y^2 = -m^2 - k^2$

$y^2 = -(m^2 + k^2)$

Проанализируем полученное равенство. По определению чисто мнимого числа, $y$ — это действительное число, не равное нулю ($y \neq 0$). Следовательно, $y^2$ должно быть строго положительным числом: $y^2 > 0$.

В правой части равенства стоят действительные числа $m$ и $k$. Так как квадрат любого действительного числа неотрицателен, мы имеем $m^2 \ge 0$ и $k^2 \ge 0$. Таким образом, их сумма $m^2 + k^2 \ge 0$.

Выражение $-(m^2 + k^2)$ будет равно нулю только если $m=0$ и $k=0$. Во всех остальных случаях оно будет строго отрицательным: $-(m^2 + k^2) < 0$.

Итак, мы пришли к уравнению, в котором левая часть строго положительна ($y^2 > 0$), а правая часть неположительна ($-(m^2 + k^2) \le 0$).

Равенство $y^2 = -(m^2 + k^2)$ не может выполняться, так как положительное число не может быть равно отрицательному или нулю. Единственный гипотетический случай, когда равенство возможно, это когда обе части равны нулю. Это потребовало бы $y=0$, а также $m=0$ и $k=0$. Но если $y=0$, то корни $x_1=x_2=0$, которые являются действительными, а не чисто мнимыми числами.

Таким образом, наше первоначальное предположение о том, что корни могут быть чисто мнимыми, приводит к противоречию.

Ответ: Нет, не могут.