Номер 1352, страница 410 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1352, страница 410.

Условие.

1352 1) $lg \left(\frac{1}{2} + x\right) = lg \frac{1}{2} - lg x;$

2) $2 lg x = -lg \frac{1}{6 - x^2}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Исходное уравнение: $lg(\frac{1}{2} + x) = lg\frac{1}{2} - lg x$.
Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} \frac{1}{2} + x > 0 \\ x > 0 \end{cases} $
Из первого неравенства получаем $x > -\frac{1}{2}$. Совмещая с условием $x > 0$, получаем ОДЗ: $x > 0$.
Теперь преобразуем правую часть уравнения, используя свойство разности логарифмов $log_a b - log_a c = log_a \frac{b}{c}$:
$lg\frac{1}{2} - lg x = lg\frac{\frac{1}{2}}{x} = lg\frac{1}{2x}$.
Уравнение принимает вид:
$lg(\frac{1}{2} + x) = lg\frac{1}{2x}$.
Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:
$\frac{1}{2} + x = \frac{1}{2x}$.
Умножим обе части уравнения на $2x$ (это возможно, так как по ОДЗ $x \ne 0$):
$2x(\frac{1}{2} + x) = 1$
$x + 2x^2 = 1$
$2x^2 + x - 1 = 0$.
Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:
$D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4 \cdot 2 \cdot (-1) = 1 + 8 = 9$.
$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 + \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 + 3}{4} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$.
$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-1 - \sqrt{9}}{2 \cdot 2} = \frac{-1 - 3}{4} = \frac{-4}{4} = -1$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($x > 0$):
Корень $x_1 = \frac{1}{2}$ удовлетворяет условию $x > 0$.
Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому является посторонним.
Следовательно, у уравнения есть только один корень.
Ответ: $\frac{1}{2}$.

2) Исходное уравнение: $2 \lg x = -\lg \frac{1}{6 - x^2}$.
Найдем область допустимых значений (ОДЗ). Аргументы логарифмов должны быть строго положительными:
$ \begin{cases} x > 0 \\ \frac{1}{6 - x^2} > 0 \end{cases} $
Второе неравенство равносильно условию $6 - x^2 > 0$, так как числитель дроби $1$ положителен. Решим $x^2 < 6$, что дает $-\sqrt{6} < x < \sqrt{6}$.
Совмещая оба условия $x > 0$ и $-\sqrt{6} < x < \sqrt{6}$, получаем ОДЗ: $0 < x < \sqrt{6}$.
Преобразуем обе части уравнения, используя свойства логарифмов $n \log_a b = \log_a b^n$ и $-\log_a b = \log_a b^{-1}$:
Левая часть: $2 \lg x = \lg x^2$.
Правая часть: $-\lg \frac{1}{6 - x^2} = \lg \left(\left(\frac{1}{6 - x^2}\right)^{-1}\right) = \lg (6 - x^2)$.
Уравнение принимает вид:
$\lg x^2 = \lg (6 - x^2)$.
Так как основания логарифмов равны, мы можем приравнять их аргументы:
$x^2 = 6 - x^2$
$2x^2 = 6$
$x^2 = 3$
$x = \pm \sqrt{3}$.
Проверим найденные корни на соответствие ОДЗ ($0 < x < \sqrt{6}$):
Корень $x_1 = \sqrt{3}$. Так как $0 < 3 < 6$, то $0 < \sqrt{3} < \sqrt{6}$. Этот корень удовлетворяет ОДЗ.
Корень $x_2 = -\sqrt{3}$ не удовлетворяет условию $x > 0$, поэтому является посторонним.
Следовательно, у уравнения есть только один корень.
Ответ: $\sqrt{3}$.