Номер 1347, страница 409 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1347, страница 409.

Условие.

1347 1) $(\frac{4}{9})^x \cdot (\frac{27}{8})^{x-1} = \frac{2}{3};$

2) $\sqrt[3]{2^x} \cdot \sqrt[3]{3^x} = 216.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $(\frac{4}{9})^x \cdot (\frac{27}{8})^{x-1} = \frac{2}{3}$

Для решения этого показательного уравнения приведем все степени к одному основанию. В данном случае удобно использовать основание $\frac{2}{3}$.

Представим дроби в виде степеней этого основания:

$\frac{4}{9} = \frac{2^2}{3^2} = (\frac{2}{3})^2$

$\frac{27}{8} = \frac{3^3}{2^3} = (\frac{3}{2})^3 = ((\frac{2}{3})^{-1})^3 = (\frac{2}{3})^{-3}$

Теперь подставим полученные выражения в исходное уравнение:

$((\frac{2}{3})^2)^x \cdot ((\frac{2}{3})^{-3})^{x-1} = (\frac{2}{3})^1$

Воспользуемся свойством степени $(a^m)^n = a^{mn}$ и свойством умножения степеней $a^m \cdot a^n = a^{m+n}$:

$(\frac{2}{3})^{2x} \cdot (\frac{2}{3})^{-3(x-1)} = (\frac{2}{3})^1$

$(\frac{2}{3})^{2x - 3(x-1)} = (\frac{2}{3})^1$

Так как основания степеней в левой и правой частях уравнения равны, можем приравнять их показатели:

$2x - 3(x-1) = 1$

Теперь решим полученное линейное уравнение:

$2x - 3x + 3 = 1$

$-x + 3 = 1$

$-x = 1 - 3$

$-x = -2$

$x = 2$

Ответ: $x=2$

2) $\sqrt[3]{2^x} \cdot \sqrt[3]{3^x} = 216$

Воспользуемся свойством произведения корней одинаковой степени $\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}$:

$\sqrt[3]{2^x \cdot 3^x} = 216$

Применим свойство произведения степеней с одинаковым показателем $a^n \cdot b^n = (ab)^n$:

$\sqrt[3]{(2 \cdot 3)^x} = 216$

$\sqrt[3]{6^x} = 216$

Представим корень в виде степени с рациональным показателем по формуле $\sqrt[n]{a^m} = a^{\frac{m}{n}}$:

$6^{\frac{x}{3}} = 216$

Чтобы решить это уравнение, представим правую часть в виде степени с основанием 6. Известно, что $216 = 6^3$.

$6^{\frac{x}{3}} = 6^3$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$\frac{x}{3} = 3$

Решаем уравнение относительно $x$:

$x = 3 \cdot 3$

$x = 9$

Ответ: $x=9$