Номер 1340, страница 409 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

1340 Найти наименьший корень уравнения $|x^2 - 3x - 6| = 2x$.

Для решения уравнения $|x^2 - 3x - 6| = 2x$ необходимо рассмотреть два случая, но прежде следует определить область допустимых значений.

1. Область допустимых значений (ОДЗ)

По определению, значение модуля числа является неотрицательной величиной. Следовательно, правая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Запишем это условие в виде неравенства:

$2x \ge 0$

Отсюда получаем:

$x \ge 0$

Это означает, что любой корень уравнения должен быть больше или равен нулю. Корни, не удовлетворяющие этому условию, являются посторонними.

2. Раскрытие модуля

Уравнение вида $|A| = B$ равносильно совокупности двух уравнений: $A = B$ или $A = -B$. Рассмотрим оба случая.

Случай 1: $x^2 - 3x - 6 = 2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$x^2 - 3x - 2x - 6 = 0$

$x^2 - 5x - 6 = 0$

Решим полученное уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 25 + 24 = 49$

Найдем корни:

$x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 + \sqrt{49}}{2} = \frac{5 + 7}{2} = \frac{12}{2} = 6$

$x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{5 - \sqrt{49}}{2} = \frac{5 - 7}{2} = \frac{-2}{2} = -1$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_1 = 6$ удовлетворяет условию ($6 \ge 0$).

Корень $x_2 = -1$ не удовлетворяет условию ($-1 < 0$), следовательно, является посторонним.

Случай 2: $x^2 - 3x - 6 = -2x$

Перенесем все слагаемые в левую часть:

$x^2 - 3x + 2x - 6 = 0$

$x^2 - x - 6 = 0$

Решим уравнение через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-6) = 1 + 24 = 25$

Найдем корни:

$x_3 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + \sqrt{25}}{2} = \frac{1 + 5}{2} = \frac{6}{2} = 3$

$x_4 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - \sqrt{25}}{2} = \frac{1 - 5}{2} = \frac{-4}{2} = -2$

Проверим корни на соответствие ОДЗ ($x \ge 0$).

Корень $x_3 = 3$ удовлетворяет условию ($3 \ge 0$).

Корень $x_4 = -2$ не удовлетворяет условию ($-2 < 0$), следовательно, является посторонним.

3. Выбор наименьшего корня

Мы получили два действительных корня уравнения: $x = 6$ и $x = 3$.

Для ответа на вопрос задачи необходимо найти наименьший из этих корней. Сравнивая их, получаем:

$3 < 6$

Таким образом, наименьший корень уравнения равен 3.

Ответ: 3