Номер 1341, страница 409 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1341, страница 409.

Условие.

1341 Найти наибольший рациональный корень уравнения

$|x^2 - 8x + 5| = 2x.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Данное уравнение $|x^2 - 8x + 5| = 2x$ является уравнением с модулем вида $|f(x)| = g(x)$.

Такое уравнение равносильно системе:

$ \begin{cases} g(x) \ge 0 \\ [ \begin{aligned} &f(x) = g(x) \\ &f(x) = -g(x) \end{aligned} ] \end{cases} $

В нашем случае $f(x) = x^2 - 8x + 5$ и $g(x) = 2x$.

1. Сначала найдем область допустимых значений (ОДЗ). Правая часть уравнения должна быть неотрицательной, так как модуль не может быть отрицательным числом:

$2x \ge 0 \implies x \ge 0$.

Все корни уравнения должны удовлетворять этому условию.

2. Теперь решим совокупность двух уравнений:

а) $x^2 - 8x + 5 = 2x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 8x - 2x + 5 = 0$

$x^2 - 10x + 5 = 0$

Это квадратное уравнение. Найдем его корни через дискриминант:

$D = b^2 - 4ac = (-10)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 100 - 20 = 80$

Корни уравнения:

$x_{1,2} = \frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{10 \pm \sqrt{80}}{2} = \frac{10 \pm \sqrt{16 \cdot 5}}{2} = \frac{10 \pm 4\sqrt{5}}{2} = 5 \pm 2\sqrt{5}$

Мы получили два корня: $x_1 = 5 + 2\sqrt{5}$ и $x_2 = 5 - 2\sqrt{5}$.

Проверим, удовлетворяют ли они ОДЗ ($x \ge 0$):

$x_1 = 5 + 2\sqrt{5} > 0$, так как оба слагаемых положительны. Корень подходит.

$x_2 = 5 - 2\sqrt{5}$. Так как $5 = \sqrt{25}$, а $2\sqrt{5} = \sqrt{4 \cdot 5} = \sqrt{20}$, то $\sqrt{25} > \sqrt{20}$, значит $5 - 2\sqrt{5} > 0$. Корень подходит.

Однако оба этих корня являются иррациональными.

б) $x^2 - 8x + 5 = -2x$

Перенесем все члены в левую часть:

$x^2 - 8x + 2x + 5 = 0$

$x^2 - 6x + 5 = 0$

Это приведенное квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна 6, а их произведение равно 5. Корнями являются:

$x_3 = 1$ и $x_4 = 5$

Проверим, удовлетворяют ли они ОДЗ ($x \ge 0$):

$x_3 = 1 \ge 0$. Корень подходит.

$x_4 = 5 \ge 0$. Корень подходит.

Оба этих корня являются рациональными.

Итак, мы нашли четыре корня исходного уравнения: $5 + 2\sqrt{5}$, $5 - 2\sqrt{5}$, $1$ и $5$.

В задаче требуется найти наибольший рациональный корень.

Рациональными корнями являются 1 и 5.

Сравнивая их, получаем, что $5 > 1$.

Следовательно, наибольший рациональный корень уравнения равен 5.

Ответ: 5