Номер 1338, страница 409 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1338, страница 409.

Условие.

Решить уравнение (1338–1339).

1338 1) $|2x - 3| = 7;$ 2) $|x + 6| = 2x;$ 3) $2x - 7 = |x - 4|.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Решим уравнение $|2x - 3| = 7$.

По определению модуля, выражение под знаком модуля может быть равно $7$ или $-7$. Это уравнение равносильно совокупности двух уравнений:

$2x - 3 = 7$ или $2x - 3 = -7$.

Решим каждое уравнение отдельно.

Первое уравнение:
$2x - 3 = 7$
$2x = 7 + 3$
$2x = 10$
$x = \frac{10}{2}$
$x = 5$

Второе уравнение:
$2x - 3 = -7$
$2x = -7 + 3$
$2x = -4$
$x = \frac{-4}{2}$
$x = -2$

Оба найденных значения являются корнями исходного уравнения.

Ответ: -2; 5.

2) Решим уравнение $|x + 6| = 2x$.

Поскольку значение модуля всегда неотрицательно (больше или равно нулю), правая часть уравнения также должна быть неотрицательной. Это дает нам область допустимых значений (ОДЗ) для $x$:

$2x \ge 0 \implies x \ge 0$.

Теперь раскроем модуль, рассмотрев два случая. Найденные корни должны удовлетворять условию $x \ge 0$.

Случай 1: $x + 6 = 2x$
$6 = 2x - x$
$x = 6$
Корень $x = 6$ удовлетворяет условию $x \ge 0$, следовательно, является решением уравнения.

Случай 2: $x + 6 = -2x$
$x + 2x = -6$
$3x = -6$
$x = -2$
Корень $x = -2$ не удовлетворяет условию $x \ge 0$, следовательно, это посторонний корень.

Таким образом, уравнение имеет единственный корень.

Ответ: 6.

3) Решим уравнение $2x - 7 = |x - 4|$.

Левая часть уравнения равна модулю, поэтому она должна быть неотрицательной. Получаем ОДЗ:

$2x - 7 \ge 0 \implies 2x \ge 7 \implies x \ge 3.5$.

Раскроем модуль и решим два случая, проверяя корни на соответствие условию $x \ge 3.5$.

Случай 1: $2x - 7 = x - 4$
$2x - x = 7 - 4$
$x = 3$
Корень $x = 3$ не удовлетворяет условию $x \ge 3.5$ ($3 < 3.5$), значит, это посторонний корень.

Случай 2: $2x - 7 = -(x - 4)$
$2x - 7 = -x + 4$
$2x + x = 7 + 4$
$3x = 11$
$x = \frac{11}{3}$
Проверим, удовлетворяет ли корень условию $x \ge 3.5$. $\frac{11}{3} = 3\frac{2}{3}$. Так как $3\frac{2}{3} \approx 3.67$, а $3.67 > 3.5$, то корень $x = \frac{11}{3}$ является решением.

Следовательно, уравнение имеет только один корень.

Ответ: $\frac{11}{3}$.