Номер 1336, страница 409 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1336, страница 409.

Условие.

1336 При каком условии трёхчлен $ax^2 + bx + c$ является квадратом двучлена?

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Чтобы трёхчлен $ax^2+bx+c$ являлся квадратом двучлена, он должен быть представим в виде $(mx+n)^2$ для некоторых действительных чисел $m$ и $n$. Поскольку рассматривается трёхчлен, коэффициент при $x^2$ не равен нулю, значит $a \neq 0$, и, следовательно, $m \neq 0$.

Раскроем скобки в выражении $(mx+n)^2$, используя формулу сокращённого умножения для квадрата суммы:
$(mx+n)^2 = (mx)^2 + 2 \cdot (mx) \cdot n + n^2 = m^2x^2 + 2mnx + n^2$.

Теперь приравняем коэффициенты исходного трёхчлена $ax^2+bx+c$ и полученного выражения $m^2x^2 + 2mnx + n^2$. Два многочлена тождественно равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при соответствующих степенях переменной $x$. Это даёт нам систему уравнений:
1) $a = m^2$
2) $b = 2mn$
3) $c = n^2$

Из первого равенства $a = m^2$ следует, что коэффициент $a$ должен быть положительным, так как $m$ — действительное число и $m \neq 0$. Итак, первое необходимое условие: $a > 0$.

Теперь найдем связь между коэффициентами. Возведём обе части второго равенства в квадрат:
$b^2 = (2mn)^2 = 4m^2n^2$.

Подставим в полученное выражение $m^2=a$ и $n^2=c$ из первого и третьего равенств системы:
$b^2 = 4ac$.

Это второе необходимое условие. Его можно записать в виде $b^2 - 4ac = 0$. Это равенство означает, что дискриминант ($D$) квадратного трёхчлена $ax^2+bx+c$ должен быть равен нулю. Если дискриминант равен нулю, то квадратное уравнение $ax^2+bx+c=0$ имеет один корень кратности 2, а сам трёхчлен является полным квадратом.

Таким образом, для того чтобы трёхчлен $ax^2+bx+c$ был квадратом двучлена, необходимо и достаточно, чтобы его старший коэффициент был положителен, а дискриминант был равен нулю.

Ответ: Трёхчлен $ax^2+bx+c$ является квадратом двучлена при условии, что его дискриминант $D=b^2-4ac$ равен нулю и старший коэффициент $a > 0$.