Номер 1342, страница 409 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1342, страница 409.

Условие.

Решить уравнение (1342—1358).

1342 1) $\sqrt{2x+7} = x+2;$ 2) $x=2-\sqrt{2x-5}.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) Дано иррациональное уравнение $\sqrt{2x+7} = x+2$.
Для решения подобных уравнений необходимо сначала найти область допустимых значений (ОДЗ).
Во-первых, выражение под знаком квадратного корня должно быть неотрицательным: $2x+7 \ge 0 \implies 2x \ge -7 \implies x \ge -3.5$.
Во-вторых, правая часть уравнения, равная значению арифметического квадратного корня, также должна быть неотрицательной: $x+2 \ge 0 \implies x \ge -2$.
Объединяя эти два условия, получаем ОДЗ для данного уравнения: $x \ge -2$, или $x \in [-2, +\infty)$.
Теперь решим уравнение, возведя обе его части в квадрат: $(\sqrt{2x+7})^2 = (x+2)^2$
$2x+7 = x^2 + 4x + 4$
Перенесем все слагаемые в одну сторону, чтобы получить стандартное квадратное уравнение: $x^2 + 4x - 2x + 4 - 7 = 0$
$x^2 + 2x - 3 = 0$
Решим это квадратное уравнение. По теореме Виета, сумма корней равна $-2$, а их произведение равно $-3$. Легко подобрать корни: $x_1 = 1$
$x_2 = -3$
Теперь необходимо проверить, принадлежат ли найденные корни ОДЗ ($x \ge -2$).
Корень $x_1 = 1$ удовлетворяет условию $1 \ge -2$, значит, он является решением исходного уравнения.
Корень $x_2 = -3$ не удовлетворяет условию $-3 \ge -2$, значит, это посторонний корень, появившийся в результате возведения в квадрат.
Проверим единственный подходящий корень $x=1$ подстановкой в исходное уравнение: $\sqrt{2(1)+7} = 1+2$
$\sqrt{9} = 3$
$3 = 3$ (Верно).
Ответ: 1.

2) Дано иррациональное уравнение $x = 2 - \sqrt{2x-5}$.
Для удобства решения преобразуем уравнение, уединив радикал (корень) в одной из частей: $\sqrt{2x-5} = 2 - x$
Найдем область допустимых значений (ОДЗ).
Выражение под корнем должно быть неотрицательным: $2x-5 \ge 0 \implies 2x \ge 5 \implies x \ge 2.5$.
Выражение, которому равен арифметический корень, также должно быть неотрицательным: $2-x \ge 0 \implies 2 \ge x \implies x \le 2$.
Мы получили систему условий для $x$: $\begin{cases} x \ge 2.5 \\ x \le 2 \end{cases}$
Эта система не имеет решений, так как не существует такого числа $x$, которое было бы одновременно больше или равно 2.5 и меньше или равно 2. Это означает, что ОДЗ пуста, и уравнение не имеет решений.
Для полноты картины, продолжим решение, возведя обе части уравнения $\sqrt{2x-5} = 2 - x$ в квадрат: $(\sqrt{2x-5})^2 = (2-x)^2$
$2x-5 = 4 - 4x + x^2$
Приведем к стандартному квадратному уравнению: $x^2 - 4x - 2x + 4 + 5 = 0$
$x^2 - 6x + 9 = 0$
Это уравнение является полным квадратом: $(x-3)^2 = 0$
Его единственный корень $x=3$.
Однако, как мы установили ранее, корень должен удовлетворять ОДЗ, в частности условию $x \le 2$. Корень $x=3$ не удовлетворяет этому условию ($3 > 2$), следовательно, является посторонним.
Проверка подстановкой $x=3$ в исходное уравнение подтверждает это: $3 = 2 - \sqrt{2(3)-5}$
$3 = 2 - \sqrt{6-5}$
$3 = 2 - \sqrt{1}$
$3 = 2 - 1$
$3 = 1$ (Неверно).
Таким образом, уравнение не имеет корней.
Ответ: нет корней.