Номер 1349, страница 409 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1349, страница 409.

Условие.

1349 1) $3^{2x} - 3^x = 72;$

2) $4^x - 2^{x+1} = 48.$

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $3^{2x} - 3^x = 72$

Данное показательное уравнение можно свести к квадратному. Заметим, что $3^{2x} = (3^x)^2$.

Введем замену переменной. Пусть $t = 3^x$. Так как показательная функция принимает только положительные значения, то на переменную $t$ накладывается условие $t > 0$.

Подставим новую переменную в исходное уравнение:

$t^2 - t = 72$

Перенесем все члены в левую часть, чтобы получить стандартное квадратное уравнение:

$t^2 - t - 72 = 0$

Решим это уравнение. Можно использовать теорему Виета или найти корни через дискриминант. Найдем дискриминант $D = b^2 - 4ac$:

$D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-72) = 1 + 288 = 289 = 17^2$

Теперь найдем корни уравнения:

$t_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 + 17}{2} = \frac{18}{2} = 9$

$t_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{1 - 17}{2} = \frac{-16}{2} = -8$

Теперь вернемся к условию $t > 0$. Корень $t_1 = 9$ удовлетворяет этому условию. Корень $t_2 = -8$ не удовлетворяет условию $t > 0$, поэтому он является посторонним.

Выполним обратную замену для $t_1 = 9$:

$3^x = 9$

Представим 9 как степень тройки:

$3^x = 3^2$

Отсюда следует, что $x = 2$.

Ответ: $2$.

2) $4^x - 2^{x+1} = 48$

Приведем все степени в уравнении к одному основанию 2. Используем свойства степеней: $4^x = (2^2)^x = 2^{2x}$ и $2^{x+1} = 2^x \cdot 2^1 = 2 \cdot 2^x$.

Подставим эти выражения в уравнение:

$2^{2x} - 2 \cdot 2^x = 48$

Это уравнение также сводится к квадратному. Введем замену переменной. Пусть $y = 2^x$. Условие для новой переменной: $y > 0$.

Перепишем уравнение с новой переменной:

$y^2 - 2y = 48$

Приведем к стандартному виду:

$y^2 - 2y - 48 = 0$

Решим полученное квадратное уравнение. Найдем дискриминант:

$D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-48) = 4 + 192 = 196 = 14^2$

Найдем корни:

$y_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 14}{2} = \frac{16}{2} = 8$

$y_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{196}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 14}{2} = \frac{-12}{2} = -6$

Проверим корни на соответствие условию $y > 0$. Корень $y_1 = 8$ подходит. Корень $y_2 = -6$ не подходит, так как он отрицательный.

Выполним обратную замену для $y_1 = 8$:

$2^x = 8$

Представим 8 как степень двойки:

$2^x = 2^3$

Следовательно, $x = 3$.

Ответ: $3$.