Номер 1344, страница 409 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1344, страница 409.

Условие.

1344 1) $9^{5x} - 9^{5x-1} = 8;$

2) $2^{x+4} - 2^x = 120.$

Решение 1.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

1) $9^{5x} - 9^{5x-1} = 8$

Для решения этого показательного уравнения воспользуемся свойством степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$.

Представим $9^{5x}$ как $9^{(5x-1)+1} = 9^{5x-1} \cdot 9^1$.

Подставим это выражение в исходное уравнение:

$9^{5x-1} \cdot 9 - 9^{5x-1} = 8$

Теперь вынесем общий множитель $9^{5x-1}$ за скобки:

$9^{5x-1}(9 - 1) = 8$

Упростим выражение в скобках:

$9^{5x-1} \cdot 8 = 8$

Разделим обе части уравнения на 8:

$9^{5x-1} = 1$

Любое число (кроме нуля) в степени 0 равно 1. Следовательно, мы можем записать 1 как $9^0$.

$9^{5x-1} = 9^0$

Поскольку основания степеней равны, мы можем приравнять их показатели:

$5x - 1 = 0$

$5x = 1$

$x = \frac{1}{5}$

Ответ: $x = \frac{1}{5}$

2) $2^{x+4} - 2^x = 120$

Используем свойство степеней $a^{m+n} = a^m \cdot a^n$, чтобы преобразовать член $2^{x+4}$.

$2^{x+4} = 2^x \cdot 2^4$

Подставим это в уравнение:

$2^x \cdot 2^4 - 2^x = 120$

Вынесем общий множитель $2^x$ за скобки:

$2^x(2^4 - 1) = 120$

Вычислим значение выражения в скобках. $2^4 = 16$.

$2^x(16 - 1) = 120$

$2^x \cdot 15 = 120$

Теперь разделим обе части уравнения на 15:

$2^x = \frac{120}{15}$

$2^x = 8$

Представим число 8 в виде степени с основанием 2:

$8 = 2^3$

Получаем уравнение:

$2^x = 2^3$

Так как основания степеней равны, приравниваем их показатели:

$x = 3$

Ответ: $x = 3$