Номер 1337, страница 409 - гдз по алгебре 10-11 класс учебник Алимов, Колягин

Упражнения для итогового повторения курса алгебры и начал математического анализа. 2. Уравнения - номер 1337, страница 409.

Условие.

1337 Доказать, что корни уравнения $ax^2 + bx + a = 0$ есть взаимно обратные числа, если $a \neq 0$.

Решение 1.

Решение 2.

Решение 5.

Решение 7.

Решение 8.

Для доказательства того, что корни уравнения $ax^2 + bx + a = 0$ (где $a \neq 0$) являются взаимно обратными числами, воспользуемся теоремой Виета.

Напомним, что два числа $x_1$ и $x_2$ называются взаимно обратными, если их произведение равно единице, то есть $x_1 \cdot x_2 = 1$.

Согласно теореме Виета, для квадратного уравнения общего вида $Ax^2 + Bx + C = 0$ произведение его корней $x_1$ и $x_2$ находится по формуле:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{C}{A}$

В заданном уравнении $ax^2 + bx + a = 0$ старший коэффициент $A=a$, а свободный член $C=a$.

Применим формулу к нашему уравнению:

$x_1 \cdot x_2 = \frac{a}{a}$

Поскольку по условию задачи $a \neq 0$, мы можем утверждать, что $\frac{a}{a} = 1$.

Следовательно, $x_1 \cdot x_2 = 1$.

Это равенство по определению означает, что корни уравнения $x_1$ и $x_2$ являются взаимно обратными числами. Отметим, что ни один из корней не равен нулю, так как в противном случае из уравнения следовало бы, что $a=0$, а это противоречит условию. Таким образом, для каждого корня существует обратный. Что и требовалось доказать.

Ответ: Утверждение доказано. По теореме Виета произведение корней уравнения $ax^2 + bx + a = 0$ равно $\frac{a}{a}=1$ (так как $a \neq 0$), а это означает, что корни являются взаимно обратными числами.